Determine ki para que a função seja solução da equação de Poison
nabla^2 f=-c^2
se possível.
f(x, y)=k1,2(x y)^2+k1 x^2+k2 y^2

Passo 1

O enunciado pede para achar os coeficientes de
f(x,y)=k1,2,(x y)^2+k1,x^2+k2,y^2
de modo que f seja solução da equação de Poisson
nabla^2f=-c^2
Vamos usar a definição de Laplaciano em duas variáveis, que é
nabla^2f=partial^2fpartial x^2+partial^2fpartial y^2,
e igualar o resultado a -c^2.

Passo 2

Calculamos a segunda derivada de f em relação a x. Primeiro,
partial fpartial x =2,k1,2,x,y^2+2,k1,x,
de onde
partial^2fpartial x^2 =2,k1,2,y^2+2,k1

Passo 3

Analogamente, para a derivada em relação a y,
partial fpartial y =2,k1,2,x^2,y+2,k2,y,
e
partial^2fpartial y^2 =2,k1,2,x^2+2,k2

Passo 4

Somando as duas segundas derivadas, obtemos o Laplaciano
nabla^2f =2,k1,2,l(y^2+x^2r)+2,k1+2,k2

Passo 5

Para que nabla^2f seja constante igual a -c^2, o termo que depende de x^2+y^2 deve desaparecer. Logo
k1,2=0
Com isso
nabla^2f=2,k1+2,k2
e impomos
2,k1+2,k2=-c^2 Rightarrow k1+k2=-c^22

Resposta

k1,2=0 e k1+k2=-dfracc^22

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