Determine ki para que a função seja solução da equação de Poison
nabla^2 f=-c^2
se possível.
f(x, y)= k0 sin (x) cosh (y)++k1 x^2+k2 y^2

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=k0,sin(x)cosh(y)+k1,x^2+k2,y^2
e pede para escolher os constantes ki de modo que
nabla^2f=-c^2
O conteúdo necessário é o cálculo da Laplaciana em coordenadas cartesianas,
nabla^2f=fxx+fyy.

Passo 2

Calculemos a contribuição da parte
,k0sin(x)cosh(y). Primeiro
partial^2partial x^2l[k0sin(x)cosh(y)r] =k0,partial^2partial x^2sin(x),cosh(y) =-k0sin(x)cosh(y)
Em seguida
partial^2partial y^2l[k0sin(x)cosh(y)r] =k0,sin(x),partial^2partial y^2cosh(y) =k0sin(x)cosh(y)
Somando vem
fxx+fyy|termo k0=-k0sin(x)cosh(y)+k0sin(x)cosh(y)=0

Passo 3

Agora a parte polinomial k1x^2+k2y^2. Calculamos
partial^2partial x^2l[k1x^2r]=2k1, partial^2partial y^2l[k1x^2r]=0,
partial^2partial x^2l[k2y^2r]=0, partial^2partial y^2l[k2y^2r]=2k2
Logo
fxx+fyy|parte polinomial=2k1+2k2=2l(k1+k2r)

Passo 4

A Laplaciana total é a soma dos dois resultados, ou seja
nabla^2f =0+2l(k1+k2r)
Para satisfazer
nabla^2f=-c^2 precisamos de
2l(k1+k2r)=-c^2 Longrightarrow k1+k2=-c^22
Note que k0 não aparece nessa condição e, portanto, é livre.

Resposta

k1+k2=-dfracc^22, com k0 arbitrário.

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