Determine ki para que a função seja solução da equação de Poison
nabla^2 f=-c^2
se possível.
f(x, y)=x-y+k1 x^2+k2 y^2

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x - y + k1x^2 + k2y^2
e pede para ela satisfazer a equação de Poisson
nabla^2f = -c^2,
ou seja, queremos encontrar k1 e k2 tais que a soma das segundas derivadas de f seja a constante -c^2.

Passo 2

Computamos as segundas derivadas parciais de f. Primeiro em relação a x:
partial fpartial x = 1 + 2,k1x, partial^2fpartial x^2 = 2,k1
Depois em relação a y:
partial fpartial y = -1 + 2,k2y, partial^2fpartial y^2 = 2,k2
Logo o laplaciano fica
nabla^2f = partial^2fpartial x^2 + partial^2fpartial y^2 = 2,k1 + 2,k2 = 2l(k1+k2r)

Passo 3

Para que f resolva
nabla^2f = -c^2,
basta igualar
2l(k1+k2r) = -c^2,
ou seja
k1 + k2 = -c^22

Resposta

Qualquer par l(k1,k2r) que satisfaça
k1 + k2 = -c^22
faz com que f(x,y) seja solução da equação de Poisson nabla^2f=-c^2.

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