Determine a função y(x) tal que:
\frac{d y}{d x}=\operatorname{sen}\left(\frac{x}{2}\right)+2, y(\pi)=0

Passo 1

O enunciado pede uma função y(x) cuja derivada é
\frac{dy}{dx} = \sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + 2
e que satisfaça a condição inicial y(\pi)=0. Para encontrar y(x) basta integrar a expressão da derivada e depois ajustar a constante de integração usando y(\pi)=0.

Passo 2

Vamos integrar separadamente a parte \sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr). Use a substituição
u = \frac{x}{2}, \quad du = \frac{dx}{2} \quad\Longrightarrow\quad dx = 2\,du.
Então
\int \sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx = \int \sin(u)\cdot 2\,du = -2\cos(u) + C_{1} = -2\cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + C_{1}.

Passo 3

Agora integramos a parte constante 2:
\int 2\,dx = 2x + C_{2}.

Passo 4

Somando as duas integrais, a solução geral é
y(x) = -2\cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + 2x + C,
onde C = C_{1}+C_{2} é a constante de integração a determinar.

Passo 5

Impondo a condição y(\pi)=0:
y(\pi) = -2\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) + 2\pi + C = -2\cdot 0 + 2\pi + C = 2\pi + C \overset{!}{=}0
logo C = -2\pi.

Resposta

y(x) = -2\cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + 2x - 2\pi.

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