Determine a função y(x) tal que:
\frac{d y}{d x}=3 e^{3 x}, y(0)=-1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação \frac{dy}{dx} = 3 e^{3x} com condição inicial y(0) = -1. O conteúdo envolve resolver uma equação diferencial de primeira ordem por integração direta.

Passo 2

Integramos ambos os lados em relação a x:
y(x) = \int 3 e^{3x}\,dx + C.
Como \displaystyle \int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax}, segue
\int 3 e^{3x}\,dx = 3\cdot\frac{1}{3}e^{3x} = e^{3x},
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y(x) = e^{3x} + C.

Passo 3

Usamos a condição inicial y(0) = -1. Substituindo x=0 em y(x):
y(0) = e^{0} + C = 1 + C = -1 \quad\Longrightarrow\quad C = -2.

Resposta

y(x) = e^{3x} - 2.

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