Determine a função y(x) tal que:
\frac{d y}{d x}=x^{5}+x^{3}+x^{2}, y(0)=\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função y(x) cuja derivada é
\frac{dy}{dx}=x^{5}+x^{3}+x^{2}
e que satisfaz a condição inicial y(0)=\frac{1}{2}. O conteúdo envolvido é integração de uma função polinomial para resolver uma EDO de primeira ordem simples.

Passo 2

Para resolver, basta integrar ambos os lados em relação a x. Assim, obtemos a solução geral:
y(x)=\int\bigl(x^{5}+x^{3}+x^{2}\bigr)\,dx =\frac{x^{6}}{6}+\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{3}}{3}+C.

Passo 3

Aplicamos a condição inicial y(0)=\frac{1}{2}. Substituindo x=0 na expressão acima:
y(0)=C=\frac{1}{2},
logo C=\frac{1}{2}.

Passo 4

Substituindo C na solução geral, a função buscada é
y(x)=\frac{x^{6}}{6}+\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{3}}{3}+\frac{1}{2}.

Resposta

y(x)=\frac{x^{6}}{6}+\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{3}}{3}+\frac{1}{2}

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