Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sqrt[4]{x^{4}+1}-\sqrt{x^{2}+1}}{x^{2}}\right).

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x \to 0 da expressão
\frac{\sqrt[4]{x^{4}+1}-\sqrt{x^{2}+1}}{x^{2}}.
Informações relevantes que o enunciado nos dá:
  • A expressão é uma diferença entre duas raízes: \sqrt[4]{x^{4}+1}=(1+x^{4})^{1/4} e \sqrt{x^{2}+1}=(1+x^{2})^{1/2}.
  • Avaliando em x=0 cada termo: (1+0)^{1/4}=1 e (1+0)^{1/2}=1, logo o numerador tende a 0 quando x\to0.
  • O denominador x^{2} também tende a 0 quando x\to0.
  • Portanto temos uma forma indeterminada \tfrac{0}{0} e precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática): quando uma expressão dá forma indeterminada \tfrac{0}{0} e envolve funções que são suaves perto de 0 (como potências e raízes), uma maneira prática é usar a expansão em série (aproximação de Taylor/binomial) para cada radical até a ordem necessária. Vou ensinar e aplicar a fórmula do binômio para expoentes não inteiros:
Fórmula (versão truncada útil): para |u|<1 e qualquer real a,
(1+u)^{a}=1+a u+\frac{a(a-1)}{2}u^{2}+o(u^{2}),
onde o(u^{2}) significa termos que, divididos por u^{2}, vão para 0 quando u\to0. Em palavras: mantemos os termos até u^{2} e os restantes são negligenciáveis para pequenas u.
Vamos aplicar isso às duas raízes, identificando u e a em cada caso.

Passo 3

Expansão de \sqrt[4]{x^{4}+1}=(1+x^{4})^{1/4}.
Aqui a=\tfrac{1}{4} e u=x^{4}. Aplicando a fórmula:
(1+x^{4})^{1/4}=1+\frac{1}{4}x^{4}+\frac{\tfrac{1}{4}\!\left(\tfrac{1}{4}-1\right)}{2}x^{8}+o(x^{8}).
O segundo termo não-nulo após 1 é \dfrac{1}{4}x^{4}. O termo com x^{8} é de ordem muito mais alta que x^{4} e, ao dividirmos depois por x^{2}, será ainda mais negligenciável. Assim, até a ordem relevante, podemos escrever
\sqrt[4]{x^{4}+1}=1+\frac{1}{4}x^{4}+o(x^{4}).

Passo 4

Expansão de \sqrt{x^{2}+1}=(1+x^{2})^{1/2}.
Aqui a=\tfrac{1}{2} e u=x^{2}. Aplicando a fórmula:
(1+x^{2})^{1/2}=1+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{\tfrac{1}{2}\!\left(\tfrac{1}{2}-1\right)}{2}x^{4}+o(x^{4}).
Calcule o coeficiente de x^{4}:
\frac{\tfrac{1}{2}\left(-\tfrac{1}{2}\right)}{2}=-\frac{1}{8}.
Logo
\sqrt{x^{2}+1}=1+\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{8}x^{4}+o(x^{4}).

Passo 5

Subtrair as expansões para obter o numerador, com cuidado para mostrar todas as etapas:
Usando as expressões obtidas,
\sqrt[4]{x^{4}+1}-\sqrt{x^{2}+1} =\left(1+\frac{1}{4}x^{4}+o(x^{4})\right)-\left(1+\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{8}x^{4}+o(x^{4})\right).
Cancelemos os 1 e agrupemos termos:
\sqrt[4]{x^{4}+1}-\sqrt{x^{2}+1} =-\frac{1}{2}x^{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\right)x^{4}+o(x^{4}).
Compute \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{2}{8}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{3}{8}. Assim
\sqrt[4]{x^{4}+1}-\sqrt{x^{2}+1}=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{8}x^{4}+o(x^{4}).

Passo 6

Divida agora pelo denominador x^{2} e simplifique:
\frac{\sqrt[4]{x^{4}+1}-\sqrt{x^{2}+1}}{x^{2}} =-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}x^{2}+o(x^{2}).
Quando x\to0, os termos que envolvem x^{2} e o(x^{2}) tendem a 0. Portanto o limite é o termo constante restante.

Passo 7

Concluindo o cálculo do limite:
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[4]{x^{4}+1}-\sqrt{x^{2}+1}}{x^{2}}=-\frac{1}{2}.
Calma — a etapa essencial foi reconhecer que a expansão de (1+u)^{a} fornece os termos dominantes; aqui o termo em x^{2} vem apenas da segunda raiz e não da raiz quarta, por isso o resultado é -\tfrac{1}{2}. Você consegue lembrar disso na prova: expanda até a ordem necessária e veja qual termo domina.

Resposta

-\dfrac{1}{2}

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