Calcule os seguintes limites:
.
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
da expressão
Informações relevantes que o enunciado nos dá:
- A expressão é uma diferença entre duas raízes:
e . - Avaliando em
cada termo: e , logo o numerador tende a quando . - O denominador
também tende a quando . - Portanto temos uma forma indeterminada
e precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática): quando uma expressão dá forma indeterminada
e envolve funções que são suaves perto de
(como potências e raízes), uma maneira prática é usar a expansão em série (aproximação de Taylor/binomial) para cada radical até a ordem necessária. Vou ensinar e aplicar a fórmula do binômio para expoentes não inteiros:
Fórmula (versão truncada útil): para
e qualquer real
,
onde
significa termos que, divididos por
, vão para
quando
. Em palavras: mantemos os termos até
e os restantes são negligenciáveis para pequenas
.
Vamos aplicar isso às duas raízes, identificando
e
em cada caso.
Passo 3
Expansão de
.
Aqui
e
. Aplicando a fórmula:
O segundo termo não-nulo após
é
. O termo com
é de ordem muito mais alta que
e, ao dividirmos depois por
, será ainda mais negligenciável. Assim, até a ordem relevante, podemos escrever
Passo 4
Expansão de
.
Aqui
e
. Aplicando a fórmula:
Calcule o coeficiente de
:
Logo
Passo 5
Subtrair as expansões para obter o numerador, com cuidado para mostrar todas as etapas:
Usando as expressões obtidas,
Cancelemos os
e agrupemos termos:
Compute
. Assim
Passo 6
Divida agora pelo denominador
e simplifique:
Quando
, os termos que envolvem
e
tendem a
. Portanto o limite é o termo constante restante.
Passo 7
Concluindo o cálculo do limite:
Calma — a etapa essencial foi reconhecer que a expansão de
fornece os termos dominantes; aqui o termo em
vem apenas da segunda raiz e não da raiz quarta, por isso o resultado é
. Você consegue lembrar disso na prova: expanda até a ordem necessária e veja qual termo domina.