Explore a convergência da série:
sumn=1^infty (-1)^n x^nn
a) Encontre o seu raio de convergência;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui! O exercício pede para a gente explorar a convergência da série:
sumn=1^infty (-1)^n x^nn
Especificamente, a parte a) quer que a gente encontre o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e teste da razão ou teste da raiz, que nos ajudam a determinar até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o raio de convergência. Em séries de potências da forma:
sumn=0^infty an (x - c)^n
o raio de convergência, geralmente representado por sumn=1^infty (-1)^n x^nn , é o valor tal que a série converge para todos os onde e diverge para .
No nosso caso, a série é:
Aqui, e . Então, precisamos encontrar o valor de que satisfaz essa condição.

Passo 3

Para encontrar o raio de convergência 1R = limsupn to infty | an |^1/n , vamos usar o Teste da Raiz. Esse teste nos ajuda a determinar an = (-1)^nn usando o limite:
| an | = 1n
Aplicando isso à nossa série, temos:
| an |^1/n = ( 1n )^1/n = n^-1/n
Então,
Portanto,

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de limn to infty n^-1/n = limn to infty e^-ln nn = e^0 = 1 quando limsupn to infty | an |^1/n = 1 tende ao infinito:
1R = 1 Rightarrow R = 1
Então,
Isso significa que:

Resposta

O raio de convergência da série é .

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