Explore a convergência da série:
a) Encontre o seu raio de convergência;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui! O exercício pede para a gente explorar a convergência da série:
Especificamente, a parte a) quer que a gente encontre o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e teste da razão ou teste da raiz, que nos ajudam a determinar até onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o raio de convergência. Em séries de potências da forma:
o raio de convergência, geralmente representado por
, é o valor tal que a série converge para todos os
onde
e diverge para
.
No nosso caso, a série é:
Aqui,
e
. Então, precisamos encontrar o valor de
que satisfaz essa condição.
Passo 3
Para encontrar o raio de convergência
, vamos usar o Teste da Raiz. Esse teste nos ajuda a determinar
usando o limite:
Aplicando isso à nossa série, temos:
Então,
Portanto,
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Então,
Isso significa que:
Resposta
O raio de convergência da série é
.