Determine uma função
tal que
e use a parte (a) para calcular
sobre a curva
dada.
,
Passo 1
O enunciado dá o campo de vetores
e a curva
Ele pede (a) achar
tal que
e (b) usar isso para calcular
Passo 2
Para que
seja conservativo (ou seja,
) precisamos ter
Calculemos
Como
o campo não é conservativo e não existe função potencial
definida em todo
. Logo, não podemos usar diretamente o teorema fundamental.
Passo 3
Como
não é gradiente, fazemos a integral diretamente por parametrização. Temos
Então
O produto escalar é
Logo
Passo 4
Para avaliar
fizemos a substituição
,
,
e quebramos
fizemos a substituição
e quebramos
Após integrar por partes e reunir termos, chega-se à antiderivada
de modo que