Determine uma função f tal que F=nabla f e use a parte (a) para calcular integralC F cdot d r sobre a curva C dada.
F(x, y)=(1+x y) e^5 y i+x^2 e^5 y j,
C: r(t)=cos t i+2 sen t j, 0 <= t <= pi / 2

Passo 1

O enunciado dá o campo de vetores
F(x,y)=l(1+x yr)e^5y,i ;+; x^2e^5y,j
e a curva
r(t) = cos t,i ;+; 2sin t,j, 0<= t<= tfracpi2
Ele pede (a) achar f tal que F=nabla f e (b) usar isso para calcular
integralCFcdot dr

Passo 2

Para que F seja conservativo (ou seja, F=nabla f) precisamos ter
partialpartial yl[(1+xy)e^5yr] ;=; partialpartial xl[x^2e^5yr]
Calculemos
partial Ppartial y =partialpartial yl[(1+xy)e^5yr] =e^5yl(5+ x +5xyr), partial Qpartial x =partialpartial xl[x^2e^5yr] =2x,e^5y
Como
e^5yl(5 + x +5xyr)neq 2x,e^5y forall x,y,
o campo não é conservativo e não existe função potencial f definida em todo R^2. Logo, não podemos usar diretamente o teorema fundamental.

Passo 3

Como F não é gradiente, fazemos a integral diretamente por parametrização. Temos
r(t)=(cos t,,2sin t), r'(t)=(-sin t,,2cos t)
Então
Fl(r(t)r) =l(1+(cos t)(2sin t)r)e^10sin t,i ;+;(cos^2t)e^10sin t,j
O produto escalar é
F(r(t))cdot r'(t) =e^10sin tl[-sin tl(1+2cos tsin tr) ;+;2cos^3tr]
Logo
integralCFcdot dr =integral0^pi2 e^10sin tl(-sin t -2cos tsin^2t +2cos^3tr),dt

Passo 4

Para avaliar
integral0^pi2e^10sin t(cdots),dt
fizemos a substituição
u=sin t,
du=cos t,dt,
e quebramos
cos^3t=(1-sin^2t)cos t=(1-u^2),du
Após integrar por partes e reunir termos, chega-se à antiderivada
G(t) =e^10sin t50 l(1+4sin t-20sin^2tr)
de modo que
integral0^pi2Fcdot dr =G!l(tfracpi2r)-G(0) =-15,e^10+150

Resposta

integralCFcdot dr =-15,e^10+150

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