Determine uma função f tal que F=nabla f e use a parte (a) para calcular integralC F cdot d r sobre a curva C dada.
F(x, y, z)=y z e^x i+e^x j+x y e^x k,
C: r(t)=(t^2+1) i+(t^2-1) j+(t^2-2 t) k, 0 <= t <= 2

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: ( 1) encontrar f(x,y,z) tal que
nabla f(x,y,z)= F(x,y,z) com F(x,y,z)=y,z,e^x, i + e^x, j + x,y,e^x, k,
e ( 2) usar isso para obter
integralC Fcdot d r
na curva
r(t)=(t^2+1,t^2-1,t^2-2t), 0<= t<=2
Para achar uma função potencial f é necessário que F seja conservativo, isto é, nablatimes F=0.

Passo 2

Vamos calcular o rotacional de F. Escrevendo
F=(P,Q,R) com P=y z e^x,;Q=e^x,;R=x y e^x,
temos
(nablatimes F)x =partial Rpartial y-partial Qpartial z =partialpartial yl(x y e^xr)-0 =x e^x,
(nablatimes F)y =partial Ppartial z-partial Rpartial x =partialpartial zl(y z e^xr) -partialpartial xl(x y e^xr) =y e^x-l(y e^x + x y e^xr) =-x y e^x,
(nablatimes F)z =partial Qpartial x-partial Ppartial y =e^x - z e^x =e^x(1 - z)
Portanto
nablatimes F =l(x e^x,,-x y e^x,;e^x(1-z)r) neq0
em geral.

Passo 3

Como nablatimes Fneq0, F não é conservativo nem admite potencial global f. Logo não existe função f com nabla f= F num domínio que contenha a curva C.

Passo 4

Mesmo sem potencial, podemos calcular a integral de linha diretamente por parametrização. Usamos
r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (t^2 + 1,; t^2 - 1,; t^2 - 2t), 0 <= t <= 2,
r'(t) = (2t,, 2t,, 2t - 2)
Então
F(r(t)) cdot r'(t) = e^t^2 + 1 l[ y(t), z(t) cdot 2t ; + ; 1 cdot 2t ; + ; x(t), y(t), (2t - 2) r]
Substituindo x = t^2 + 1,; y = t^2 - 1,; z = t^2 - 2t e somando, obtém‐se um polinômio em t multiplicado por e^t^2 + 1. A integral
integral0^2 F(r(t)) cdot r'(t) , dt
não se expressa em termos de funções elementares simples e envolve erro de função gaussiana.

Resposta

Não existe f tal que nabla f= F, pois nablatimes Fneq0. A integral de linha deve ser calculada diretamente pela parametrização e leva a uma expressão envolvendo a função erro.

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