Determine uma função
tal que
e use a parte (a) para calcular
sobre a curva
dada.
,
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (
) encontrar
tal que
e (
) usar isso para obter
na curva
Para achar uma função potencial
é necessário que
seja conservativo, isto é,
.
Passo 2
Vamos calcular o rotacional de
. Escrevendo
temos
Portanto
em geral.
Passo 3
Como
,
não é conservativo nem admite potencial global
. Logo não existe função
com
num domínio que contenha a curva
.
Passo 4
Mesmo sem potencial, podemos calcular a integral de linha diretamente por parametrização. Usamos
Então
Substituindo
e somando, obtém‐se um polinômio em
multiplicado por
. A integral
não se expressa em termos de funções elementares simples e envolve erro de função gaussiana.
Resposta
Não existe
tal que
, pois
. A integral de linha deve ser calculada diretamente pela parametrização e leva a uma expressão envolvendo a função erro.