Questão 1 (1,0 pts) - Verifique se a função abaixo é contínua em (x, y)=(0,0) :
f(x, y)=c 2 x yx^2+y^2,(x, y) neq(0,0) 0,(x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função
Pede-se verificar se . O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis, e precisamos checar se

Passo 2

Para investigar lim(x,y)to(0,0) f(x,y), escolhemos trajetórias que passam pela origem. Uma abordagem comum é usar retas y=kx, com kin R. Se o limite depender de k, então não existe limite único.

Passo 3

Substituindo y=kx na expressão de f para (x,y)neq(0,0), temos
f(x,kx) = 2x,(kx)x^2+(kx)^2 = 2k,x^2x^2(1+k^2) = 2k1+k^2
Esse valor independe de x e depende apenas de k.

Passo 4

Como tfrac2k1+k^2 varia com k (por exemplo, é 0 para k=0 e 1 para k=1), o limite lim(x,y)to(0,0) f(x,y) não é único e, portanto, não existe. Em particular, não é igual a f(0,0)=0.

Resposta

A função f não é contínua em (0,0).

Exercícios relacionados