Questão 5 (2,0 pts) - Determine os extremos relativos de f, caso existam, classificando-os em máximos e/ou mínimos e/ou pontos de sela.
Pontos de sela
e
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos relativos de
ou seja, identificar pontos críticos onde
e, em seguida, usar o Hessiano para classificar cada ponto em mínimo, máximo ou sela.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais e montar o sistema
:
O sistema é
Passo 3
Resolver o sistema
Da segunda equação8xy-2x^2=2x(4y - x)=0 , temos duas possibilidades:
Da segunda equação
-
.x=0
Substituindo em dá4y^2-1=0 , logoy^2=tfrac14
e(x,y)=(0,tfrac12) .(0,-tfrac12) -
, i.e.\4y - x=0 .x=4y
Substituindo em não há solução real.4y^2-4(4y)y-1=4y^2-16y^2-1=-12y^2-1=0
Portanto os únicos pontos críticos são
Passo 4
Calcular as segundas derivadas para o Hessiano:
Define-se o discriminante
Passo 5
Avaliar
D e
fxx nos pontos críticos:
- Em
:(0,tfrac12) D=(-4cdottfrac12),(8cdot0)-(8cdottfrac12-0)^2 =0-4^2=-16<0 - Em
:(0,-tfrac12) D=(-4cdot(-tfrac12)),(8cdot0)-(8cdot(-tfrac12)-0)^2 =0-(-4)^2=-16<0
Como
D<0 em ambos, são pontos de sela.
Resposta
Os únicos pontos críticos são
(0,tfrac12) e
(0,-tfrac12) , ambos pontos de sela.