Questão 5 (2,0 pts) - Determine os extremos relativos de f, caso existam, classificando-os em máximos e/ou mínimos e/ou pontos de sela.
f(x, y)=4 x y^2-2 x^2 y-x
Pontos de sela (0,1 / 2) e (0,-1 / 2)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos relativos de
f(x,y)=4xy^2-2x^2y - x
ou seja, identificar pontos críticos onde nabla f=0 e, em seguida, usar o Hessiano para classificar cada ponto em mínimo, máximo ou sela.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais e montar o sistema nabla f=0:
partial fpartial x=4y^2-4xy-1, partial fpartial y=8xy-2x^2
O sistema é
4y^2-4xy-1=0, 8xy-2x^2=0

Passo 3

Resolver o sistema
Da segunda equação 8xy-2x^2=2x(4y - x)=0, temos duas possibilidades:
  1. x=0.
    Substituindo em 4y^2-1=0 y^2=tfrac14, logo
    (x,y)=(0,tfrac12) e (0,-tfrac12).
  2. 4y - x=0, i.e.\ x=4y.
    Substituindo em 4y^2-4(4y)y-1=4y^2-16y^2-1=-12y^2-1=0 não há solução real.
Portanto os únicos pontos críticos são
(0,tfrac12)e(0,-tfrac12)

Passo 4

Calcular as segundas derivadas para o Hessiano:
fxx=-4y, fyy=8x, fxy=fyx=8y-4x
Define-se o discriminante
D(x,y)=fxx,fyy-l(fxyr)^2

Passo 5

Avaliar D e fxx nos pontos críticos:
  1. Em (0,tfrac12): D=(-4cdottfrac12),(8cdot0)-(8cdottfrac12-0)^2 =0-4^2=-16<0
  2. Em (0,-tfrac12): D=(-4cdot(-tfrac12)),(8cdot0)-(8cdot(-tfrac12)-0)^2 =0-(-4)^2=-16<0
Como D<0 em ambos, são pontos de sela.

Resposta

Os únicos pontos críticos são (0,tfrac12) e (0,-tfrac12), ambos pontos de sela.

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