Seja f(x, y)=3 x^2+2 sin (xy^2)+y^3(1-e^x). Calcule fx(2,3), fx(0,1), fy(1,1) e fy(-1,-1).

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)=3x^2+2sinl(xy^2r)+y^3l(1-e^xr)
e pede as derivadas parciais fx e fy em pontos específicos. Para isso vamos usar a regra da cadeia e as derivadas de funções polinomiais, trigonométricas e exponenciais.

Passo 2

Calculando fx(x,y):
  • A derivada de 3x^2 em relação a x é 6x.
  • Em 2sinl(x/y^2r), defina u=x/y^2. Então
partialpartial xl[2sin(u)r] =2cos(u),partial upartial x =2cosl(xy^2r)cdot1y^2 =2y^2cosl(xy^2r)
  • Em y^3(1-e^x), y^3 é constante e a derivada de 1-e^x é -e^x, logo
partialpartial xl[y^3(1-e^x)r] =-y^3e^x
Juntando tudo:
fx(x,y)=6x+2y^2cosl(xy^2r)-y^3e^x

Passo 3

Avaliação de fx nos pontos:
Em (2,3):
6cdot2=12, 23^2cos!l(tfrac29r) =29cos!l(tfrac29r), -3^3e^2=-27e^2
Portanto
fx(2,3) =12+29cos!l(tfrac29r)-27e^2
Em (0,1):
6cdot0=0, 21^2cos(0)=2, -1^3e^0=-1
Logo
fx(0,1)=0+2-1=1

Passo 4

Calculando fy(x,y):
  • A derivada de 3x^2 em relação a y é 0.
  • Em 2sin(x/y^2), com u=x/y^2, temos
partial upartial y =-2x,y^-3, partialpartial yl[2sin(u)r] =2cos(u),l(-2x,y^-3r) =-4xy^3cosl(xy^2r)
  • Em y^3(1-e^x), o fator 1-e^x é constante, então
partialpartial yl[y^3(1-e^x)r] =3y^2(1-e^x)
Logo
fy(x,y) =-4xy^3cosl(xy^2r) +3y^2l(1-e^xr)

Passo 5

Avaliação de fy nos pontos:
Em (1,1):
-4cdot11^3cos(1)=-4cos(1), 3cdot1^2(1-e^1)=3(1-e)=3-3e
Portanto
fy(1,1)=3-3e-4cos(1)
Em (-1,-1):
x/y^2=-1/1=-1,cos(-1)=cos(1),
-4cdot(-1)(-1)^3cos(-1) =--4-1cos(1)=-4cos(1), 3(-1)^2l(1-e^-1r)=3l(1-tfrac1er)=3-3e
Logo
fy(-1,-1)=3-3e-4cos(1)

Resposta

fx(2,3)=12+29cos!l(tfrac29r)-27e^2, fx(0,1)=1,
fy(1,1)=3-3e-4cos(1), fy(-1,-1)=3-3e-4cos(1)

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