Determine a função
tal que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir a função $ f(x, y) $ sabendo as suas derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $, além de um valor específico da função. Isso envolve o conteúdo de cálculo multivariável, mais especificamente integrais de derivadas parciais. Para resolver, vamos integrar as derivadas parciais e ajustar com a condição dada.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $:
Para encontrar $ f(x, y) $, integramos essa expressão em relação a $ x $:
Vamos integrar termo a termo.
Passo 3
Integrando o primeiro termo $ 6xy $ em relação a $ x $:
Passo 4
Agora, usamos substituição para integrar o segundo termo $ y \sin(xy) $:
Vamos deixar $ u = xy $, então $ du = y , dx $. Isso simplifica para:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 5
Juntando os resultados das integrais, temos:
Aqui, $ h(y) $ é uma função só de $ y $, que surge porque ao integrar em relação a $ x $, a constante de integração pode depender de $ y $.
Passo 6
Para encontrar $ h(y) $, vamos usar a outra derivada parcial dada:
Calculando a derivada de $ f(x, y) $:
Igualando com a expressão fornecida:
Isso implica que:
Integrando $ h’(y) $:
Onde $ C $ é uma constante.
Passo 7
Agora, substituímos $ h(y) = C $ na expressão de $ f(x, y) $:
Passo 8
Vamos usar a condição inicial $ f(0, 1) = 0 $ para encontrar $ C $:
Como $ f(0, 1) = 0 $:
Resposta
A função procurada é: