Determine a função f(x, y) tal que partial fpartial x=6 x y+y sen(x y), partial fpartial y=3 x^2+x sen(x y) e f(0,1)=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir a função $ f(x, y) $ sabendo as suas derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $, além de um valor específico da função. Isso envolve o conteúdo de cálculo multivariável, mais especificamente integrais de derivadas parciais. Para resolver, vamos integrar as derivadas parciais e ajustar com a condição dada.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $:
f
Para encontrar $ f(x, y) $, integramos essa expressão em relação a $ x $:
x
Vamos integrar termo a termo.

Passo 3

Integrando o primeiro termo $ 6xy $ em relação a $ x $:
6xy

Passo 4

Agora, usamos substituição para integrar o segundo termo $ y \sin(xy) $:
y sin(xy)
Vamos deixar $ u = xy $, então $ du = y , dx $. Isso simplifica para:
integral y sin(xy) , dx
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 5

Juntando os resultados das integrais, temos:
f(x, y) = 3x^2 y - cos(xy) + h(y)
Aqui, $ h(y) $ é uma função só de $ y $, que surge porque ao integrar em relação a $ x $, a constante de integração pode depender de $ y $.

Passo 6

Para encontrar $ h(y) $, vamos usar a outra derivada parcial dada:
h(y)
Calculando a derivada de $ f(x, y) $:
partial fpartial y = 3x^2 + x sin(xy)
Igualando com a expressão fornecida:
f(x, y)
Isso implica que:
partial fpartial y = 3x^2 + x sin(xy) + h'(y)
Integrando $ h’(y) $:
3x^2 + x sin(xy) + h'(y) = 3x^2 + x sin(xy)
Onde $ C $ é uma constante.

Passo 7

Agora, substituímos $ h(y) = C $ na expressão de $ f(x, y) $:
h(y) = C

Passo 8

Vamos usar a condição inicial $ f(0, 1) = 0 $ para encontrar $ C $:
f(0, 1) = 0
Como $ f(0, 1) = 0 $:
C

Resposta

A função procurada é:
f(x, y) = 3x^2 y - cos(x y) + 1

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