Seja
uma função diferenciável em um aberto
e seja
um ponto de
.
Mostre que a fim de que possamos determinar o valor da derivada direcional
, para todo vetor unitário
de
é suficiente que conheçamos os valores das derivadas direcionais de
em
nas direções dadas por uma base ortonormal de
,
.
Mostre que a fim de que possamos determinar o valor da derivada direcional
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre derivadas direcionais de uma função $ f(x, y) $ que é diferenciável em um conjunto aberto $ A \subset \mathbb{R}^{2} $ e em um ponto específico $ (x_{0}, y_{0}) $. O que a gente precisa mostrar é que, para conseguir encontrar a derivada direcional da função em qualquer direção unitária $ \vec{u} $, basta saber as derivadas direcionais nas direções de uma base ortonormal $ {\vec{v}{1}, \vec{v}{2}} $ de $ \mathbb{R}^{2} $. Pra isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas direcionais e bases ortonormais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada direcional. A derivada direcional de $ f $ na direção de um vetor unitário $ \vec{u} = (u_{1}, u_{2}) $ no ponto $ (x_{0}, y_{0}) $ é dada por:
Aqui, $ \nabla f $ é o gradiente de $ f $, que é um vetor formado pelas derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $.
Passo 3
Como temos uma base ortonormal $ {\vec{v}{1}, \vec{v}{2}} $, qualquer vetor unitário $ \vec{u} $ pode ser escrito como uma combinação linear dessas duas bases. Ou seja:
Onde $ a $ e $ b $ são coeficientes que satisfazem $ a^{2} + b^{2} = 1 $, já que $ \vec{u} $ também é um vetor unitário.
Passo 4
Agora, usando a propriedade do gradiente, podemos expressar a derivada direcional na direção $ \vec{u} $:
Como o ponto final diz que a derivada direcional nas direções da base $ {\vec{v}{1}, \vec{v}{2}} $ é conhecida, podemos substituir:
Isso mostra que qualquer derivada direcional pode ser obtida a partir das derivadas direcionais nas direções da base ortonormal.
Resposta
Portanto, para determinar a derivada direcional de $ f $ em qualquer direção unitária $ \vec{u} $, é suficiente conhecer as derivadas direcionais nas direções de uma base ortonormal $ {\vec{v}{1}, \vec{v}{2}} $. Isso ocorre porque qualquer direção pode ser expressa como uma combinação linear dessas direções da base, permitindo calcular
usando as derivadas direcionais conhecidas na base.