Seja f(x, y) uma função diferenciável em um aberto A subset R^2 e seja (x0, y0) um ponto de A.
Mostre que a fim de que possamos determinar o valor da derivada direcional partial fpartial u(x0, y0), para todo vetor unitário u de R^2 é suficiente que conheçamos os valores das derivadas direcionais de f em (x0, y0) nas direções dadas por uma base ortonormal de R^2, v1, v2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre derivadas direcionais de uma função $ f(x, y) $ que é diferenciável em um conjunto aberto $ A \subset \mathbb{R}^{2} $ e em um ponto específico $ (x_{0}, y_{0}) $. O que a gente precisa mostrar é que, para conseguir encontrar a derivada direcional da função em qualquer direção unitária $ \vec{u} $, basta saber as derivadas direcionais nas direções de uma base ortonormal $ {\vec{v}{1}, \vec{v}{2}} $ de $ \mathbb{R}^{2} $. Pra isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas direcionais e bases ortonormais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada direcional. A derivada direcional de $ f $ na direção de um vetor unitário $ \vec{u} = (u_{1}, u_{2}) $ no ponto $ (x_{0}, y_{0}) $ é dada por:
f
Aqui, $ \nabla f $ é o gradiente de $ f $, que é um vetor formado pelas derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $.

Passo 3

Como temos uma base ortonormal $ {\vec{v}{1}, \vec{v}{2}} $, qualquer vetor unitário $ \vec{u} $ pode ser escrito como uma combinação linear dessas duas bases. Ou seja:
v1, v2
Onde $ a $ e $ b $ são coeficientes que satisfazem $ a^{2} + b^{2} = 1 $, já que $ \vec{u} $ também é um vetor unitário.

Passo 4

Agora, usando a propriedade do gradiente, podemos expressar a derivada direcional na direção $ \vec{u} $:
u
Como o ponto final diz que a derivada direcional nas direções da base $ {\vec{v}{1}, \vec{v}{2}} $ é conhecida, podemos substituir:
partial fpartial u(x0, y0) = nabla f(x0, y0) cdot u = nabla f(x0, y0) cdot (a v1 + b v2)
Isso mostra que qualquer derivada direcional pode ser obtida a partir das derivadas direcionais nas direções da base ortonormal.

Resposta

Portanto, para determinar a derivada direcional de $ f $ em qualquer direção unitária $ \vec{u} $, é suficiente conhecer as derivadas direcionais nas direções de uma base ortonormal $ {\vec{v}{1}, \vec{v}{2}} $. Isso ocorre porque qualquer direção pode ser expressa como uma combinação linear dessas direções da base, permitindo calcular f usando as derivadas direcionais conhecidas na base.

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