Seja A subset R^n um aberto conexo por caminhos e sejam f e g duas funções que admitem derivadas parciais em A.
Mostre que se nabla f=nabla g em A, existe c in R tal que g(X)=f(X)+c, para todo X in A.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num aberto conexo por caminhos A ⊂ ℝⁿ, duas funções f e g com derivadas parciais satisfazendo ∇f=∇g diferem apenas por uma constante. Vamos usar o fato de que igualdade de gradientes implica que a diferença h=g−f tem gradiente nulo e, em conjuntos conexos por caminhos, isso força h constante.

Passo 2

Definimos h(X)=g(X)−f(X). Como ∇f=∇g em A, temos imediatamente
Isso mostra que h tem derivadas parciais zero, ou seja, sua direção de maior variação é sempre nula.

Passo 3

Em seguida, usamos que A é conexo por caminhos. Dado X₀,X∈A, existe uma curva diferenciável γ:[0,1]→A com γ(0)=X₀ e γ(1)=X. Defina φ(t)=h(γ(t)).Então, pela regra da cadeia e por ∇h=0,
Logo φ é constante em [0,1], de onde h(γ(1))=h(γ(0)). Ou seja,
h(X)=h(X₀) para todo X∈A.

Passo 4

Concluímos que h é constante em A: existe c∈ℝ tal que h(X)=c. Voltando a f e g,
g(X)-f(X)=c,ou seja,
g(X)=f(X)+cpara todo Xin AEsse c pode ser escolhido como c=g(X₀)−f(X₀) para algum X₀∈A.

Resposta

g(X)=f(X)+c para todo X∈A, onde c é a constante g(X₀)−f(X₀) em um ponto X₀∈A.

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