Seja
um aberto conexo por caminhos e sejam
e
duas funções que admitem derivadas parciais em
.
Mostre que se
em
, existe
tal que
, para todo
.
Mostre que se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num aberto conexo por caminhos A ⊂ ℝⁿ, duas funções f e g com derivadas parciais satisfazendo ∇f=∇g diferem apenas por uma constante. Vamos usar o fato de que igualdade de gradientes implica que a diferença h=g−f tem gradiente nulo e, em conjuntos conexos por caminhos, isso força h constante.
Passo 2
Definimos h(X)=g(X)−f(X). Como ∇f=∇g em A, temos imediatamente
Isso mostra que h tem derivadas parciais zero, ou seja, sua direção de maior variação é sempre nula.
Passo 3
Em seguida, usamos que A é conexo por caminhos. Dado X₀,X∈A, existe uma curva diferenciável γ:[0,1]→A com γ(0)=X₀ e γ(1)=X. Defina φ(t)=h(γ(t)).Então, pela regra da cadeia e por ∇h=0,
Logo φ é constante em [0,1], de onde h(γ(1))=h(γ(0)). Ou seja,
h(X)=h(X₀) para todo X∈A.
h(X)=h(X₀) para todo X∈A.
Passo 4
Concluímos que h é constante em A: existe c∈ℝ tal que h(X)=c. Voltando a f e g,
Resposta
g(X)=f(X)+c para todo X∈A, onde c é a constante g(X₀)−f(X₀) em um ponto X₀∈A.