Verifique as identidades a seguir:
Se x^2 partial^2 fpartial x^2+y^2 partial^2 fpartial y^2+x partial fpartial x+y partial fpartial y=1 e x=e^u e y=e^v, então partial^2 fpartial u^2+partial^2 fpartial v^2=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar uma identidade envolvendo derivadas parciais. A gente tem uma equação com derivadas de uma função $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, e também uma mudança de variáveis onde $ x = e^{u} $ e $ y = e^{v} $. Nosso objetivo é mostrar que, depois dessa mudança, a soma das segundas derivadas de $ f $ em relação a $ u $ e $ v $ é igual a 1. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas parciais e fazer algumas substituições.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a mudança de variáveis: $ x = e^{u} $ e $ y = e^{v} $. Isso significa que $ u = \ln(x) $ e $ v = \ln(y) $. Queremos expressar as derivadas de $ f $ em termos de $ u $ e $ v $.

Passo 3

Vamos calcular as primeiras derivadas de $ f $ em relação a $ u $ e $ v $ usando a regra da cadeia. A derivada parcial de $ f $ em relação a $ u $ é:
f
Como $ x = e^{u} $, temos $ \frac{\partial x}{\partial u} = e^{u} = x $. E $ \frac{\partial y}{\partial u} = 0 $, já que $ y $ depende apenas de $ v $. Então:
u
De forma semelhante, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ v $ é:
v

Passo 4

Agora, vamos calcular as segundas derivadas de $ f $ em relação a $ u $ e $ v $. Começando com $ \frac{\partial^{2} f}{\partial u^{2}} $:
f
Aplicando a regra do produto:
u
Como $ \frac{\partial x}{\partial u} = x $:
v
Fazendo o mesmo para $ \frac{\partial^{2} f}{\partial v^{2}} $:
partial^2 fpartial u^2

Passo 5

Agora, vamos somar as duas segundas derivadas que encontramos:
partial^2 fpartial u^2 + partial^2 fpartial v^2 = ( x cdot partial fpartial x + x^2 cdot partial^2 fpartial x^2 ) + ( y cdot partial fpartial y + y^2 cdot partial^2 fpartial y^2 )
Rearranjando os termos:
x^2 partial^2 fpartial x^2 + y^2 partial^2 fpartial y^2 + x partial fpartial x + y partial fpartial y = 1
Oi, espera aí! Isso é exatamente a equação que nos foi dada no início:
x^2 partial^2 fpartial x^2 + y^2 partial^2 fpartial y^2 + x partial fpartial x + y partial fpartial y = 1

Resposta

Assim, mostramos que:
partial^2 fpartial u^2 + partial^2 fpartial v^2 = 1

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