Verifique as identidades a seguir:
Se
e
e
, então
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar uma identidade envolvendo derivadas parciais. A gente tem uma equação com derivadas de uma função $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, e também uma mudança de variáveis onde $ x = e^{u} $ e $ y = e^{v} $. Nosso objetivo é mostrar que, depois dessa mudança, a soma das segundas derivadas de $ f $ em relação a $ u $ e $ v $ é igual a 1. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas parciais e fazer algumas substituições.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a mudança de variáveis: $ x = e^{u} $ e $ y = e^{v} $. Isso significa que $ u = \ln(x) $ e $ v = \ln(y) $. Queremos expressar as derivadas de $ f $ em termos de $ u $ e $ v $.
Passo 3
Vamos calcular as primeiras derivadas de $ f $ em relação a $ u $ e $ v $ usando a regra da cadeia. A derivada parcial de $ f $ em relação a $ u $ é:
Como $ x = e^{u} $, temos $ \frac{\partial x}{\partial u} = e^{u} = x $. E $ \frac{\partial y}{\partial u} = 0 $, já que $ y $ depende apenas de $ v $. Então:
De forma semelhante, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ v $ é:
Passo 4
Agora, vamos calcular as segundas derivadas de $ f $ em relação a $ u $ e $ v $. Começando com $ \frac{\partial^{2} f}{\partial u^{2}} $:
Aplicando a regra do produto:
Como $ \frac{\partial x}{\partial u} = x $:
Fazendo o mesmo para $ \frac{\partial^{2} f}{\partial v^{2}} $:
Passo 5
Agora, vamos somar as duas segundas derivadas que encontramos:
Rearranjando os termos:
Oi, espera aí! Isso é exatamente a equação que nos foi dada no início:
Resposta
Assim, mostramos que: