Em todos os itens abaixo K in R é uma constante de integração.
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(e) integral(1+raizv)^-5 1raizv d v

Passo 1

A gente quer calcular a integral integral(1+raizv)^-51raizv,dv. O conteúdo aqui é Integração por Substituição, ou seja, vamos escolher uma nova variável que simplifique o integrando.

Passo 2

Vamos usar a mudança de variável u=1+raizv. Daí raizv=u-1 e v=(u-1)^2. Derivando, dv=2(u-1),du, então
dvraizv=2(u-1),duu-1=2,du

Passo 3

Substituindo na integral original, fica
integral(1+raizv)^-51raizv,dv=integral u^-5cdot2,du=2integral u^-5,du

Passo 4

Agora aplicamos a regra integral u^n,du=tfracu^n+1n+1 (para nneq-1). Logo
2integral u^-5,du=2cdotu^-4-4+K=-tfrac12,u^-4+K

Passo 5

Por fim, voltamos para v substituindo u=1+raizv.

Resposta

-\tfrac{1}{2}(1+\sqrt{v})^{-4}+K

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