Determine a função y=y(x), x in R, tal que:
y^prime(x)=72 x^6+4 x^3-3 e y(1)=0

Passo 1

O enunciado fornece a derivada da função: y'(x)=72x^6+4x^3-3 com a condição inicial y(1)=0. O conteúdo aqui é integração de polinômios, e vamos usar a regra de potência para obter y(x) a partir de y'(x).

Passo 2

Para encontrar y(x), integramos termo a termo usando a regra de potência: integral x^n,dx=x^n+1n+1+C Aplicando em cada parcela: $$
y(x)=\int\Bigl(\tfrac{7}{2}x6+4x3-3\Bigr),dx=\frac{7}{2}\cdot\frac{x7}{7}+4\cdot\frac{x4}{4}-3x+C=\frac12x7+x4-3x+C.
$$

Passo 3

Agora usamos a condição y(1)=0 para achar C. Substituindo x=1: y(1)=tfrac12cdot1^7+1^4-3cdot1+C=tfrac12+1-3+C=-tfrac32+C=0implies C=tfrac32

Resposta

y(x)=tfrac12x^7+x^4-3x+tfrac32

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