Sejam
defimida por
um ponto arbitrário de
.
Obtenha a derivada direcional de
em
, na direção do vetor
, utilizando:
A regra da cadeia
Obtenha a derivada direcional de
A regra da cadeia
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função $ f(x, y) = xy $ que mapeia pontos do plano $ \mathbb{R}^2 $ para a reta $ \mathbb{R} $. Queremos encontrar a derivada direcional dessa função em um ponto específico $ (x_0, y_0) $ na direção de um vetor $ \vec{u} = (a, b) $, que é um vetor unitário (isto é, tem comprimento 1). Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia, que nos ajuda a calcular derivadas compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. Imagine que você está em um ponto $ (x_0, y_0) $ em uma superfície dada por $ z = f(x, y) $. A derivada direcional nos diz como $ z $ muda se você se move na direção de $ \vec{u} $. Matemática, isso é dado por:
Aqui, $ f_x $ e $ f_y $ são as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, respectivamente, e $ a $ e $ b $ são as componentes do vetor unitário $ \vec{u} $.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de $ f(x, y) = xy $:
Então, no ponto $ (x_0, y_0) $:
Passo 4
Agora, substituímos esses valores na fórmula da derivada direcional:
Isso significa que a taxa de variação de $ f $ na direção de $ \vec{u} $ no ponto $ (x_0, y_0) $ é $ y_0 a + x_0 b $.
Passo 5
Então, resumindo:
- Calculamos as derivadas parciais de $ f $.
- Avaliamos essas derivadas no ponto dado.
- Aplicamos a fórmula da derivada direcional usando o vetor unitário $ \vec{u} $.
Resposta
A derivada direcional de $ f $ em $ (x_0, y_0) $ na direção de $ \vec{u} $ é: