Sejam f: R^2 R defimida por f(x, y)=x y, u=(a, b), com|u|=1, c(x0, y0) in R^2 um ponto arbitrário de R^2.
Obtenha a derivada direcional de f em (x, to 0), na direção do vetor u, utilizando:
A regra da cadeia

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função $ f(x, y) = xy $ que mapeia pontos do plano $ \mathbb{R}^2 $ para a reta $ \mathbb{R} $. Queremos encontrar a derivada direcional dessa função em um ponto específico $ (x_0, y_0) $ na direção de um vetor $ \vec{u} = (a, b) $, que é um vetor unitário (isto é, tem comprimento 1). Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia, que nos ajuda a calcular derivadas compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. Imagine que você está em um ponto $ (x_0, y_0) $ em uma superfície dada por $ z = f(x, y) $. A derivada direcional nos diz como $ z $ muda se você se move na direção de $ \vec{u} $. Matemática, isso é dado por:
(x0, y0)
Aqui, $ f_x $ e $ f_y $ são as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, respectivamente, e $ a $ e $ b $ são as componentes do vetor unitário $ \vec{u} $.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de $ f(x, y) = xy $:
f(x, y) = xy
fx = partial fpartial x = y
Então, no ponto $ (x_0, y_0) $:
fy = partial fpartial y = x
(x0, y0)

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na fórmula da derivada direcional:
Du f(x0, y0) = y0 cdot a + x0 cdot b
Isso significa que a taxa de variação de $ f $ na direção de $ \vec{u} $ no ponto $ (x_0, y_0) $ é $ y_0 a + x_0 b $.

Passo 5

Então, resumindo:
  1. Calculamos as derivadas parciais de $ f $.
  2. Avaliamos essas derivadas no ponto dado.
  3. Aplicamos a fórmula da derivada direcional usando o vetor unitário $ \vec{u} $.

Resposta

A derivada direcional de $ f $ em $ (x_0, y_0) $ na direção de $ \vec{u} $ é:
f

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