Considere a função:
f(x)=cc 1, & 0 <= x <= 1 0, & -1
em que f(x+2)=f(x). É possível mostrar que os coeficientes da expansão em série de Fourier de f são: a0=1, an=0, e bn=1n pi(1-cos (n pi)). Use a identidade de Parseval para mostrar que:
pi^28=11^2+13^2+15^2+ldots+1(2 n-1)^2+ldots

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função definida de forma diferente em dois intervalos e que se repete a cada 2 unidades. A gente precisa usar a Identidade de Parseval, que relaciona os coeficientes da série de Fourier de uma função com a soma dos quadrados desses coeficientes. No nosso caso, já temos os coeficientes e queremos mostrar que a soma dos inversos dos quadrados dos números ímpares resulta em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Identidade de Parseval. Ela diz que, para uma função periódica com período 1T integral0^T |f(x)|^2 , dx = a0^22 + sumn=1^infty ( an^2 + bn^2 ) , a média do quadrado da função no intervalo é igual à soma dos quadrados dos coeficientes da série de Fourier. Matemáticamente, fica assim:
Aqui, e são os coeficientes da série de Fourier.

Passo 3

No nosso exercício, a função tem período , e os coeficientes são:
  • para todo
Vamos substituir esses valores na identidade de Parseval.

Passo 4

Primeiro, calculamos a média do quadrado da função:
12 integral0^2 |f(x)|^2 , dx
Como 12 integral0^1 1^2 , dx + 12 integral1^2 0^2 , dx = 12 times 1 + 12 times 0 = 12 quando 12 = 1^22 + sumn=1^infty bn^2 e sumn=1^infty bn^2 = 0 quando 12 = 1^22 + sumn=1^infty bn^2 , temos:
0 = sumn=1^infty bn^2
Agora, na soma dos coeficientes na identidade de Parseval, como bn = 1npi (1 - cos(npi)) , sobra só os bn = 1npi (1 - (-1)^n) :
sumn=1^infty bn^2 = sumk=1^infty ( 2(2k-1)pi )^2 = 4pi^2 sumk=1^infty 1(2k-1)^2
Simplificando, temos:
12 = 12 + 4pi^2 sumk=1^infty 1(2k-1)^2
Mas isso não faz sentido, então vamos reavaliar. Na verdade, a média do quadrado da função deve ser igual à soma dos quadrados dos coeficientes. Então, a expressão correta fica:
0 = 4pi^2 sumk=1^infty 1(2k-1)^2
Subtraindo 12 = 12 + 4pi^2 sumk=1^infty 1(2k-1)^2 de ambos os lados:
0 = 4pi^2 sumk=1^infty 1(2k-1)^2
Ops, parece que houve um erro aqui. Vamos recomeçar e calcular os sumk=1^infty 1(2k-1)^2 = pi^28 adequadamente.
Sabemos que:
E , então:
Isso significa que é zero para par e para ímpar. Assim, a soma só vai considerar os termos ímpares:
Voltando à identidade de Parseval:
Subtraindo de ambos os lados:
Mas na verdade, a identidade correta é:
Subtraindo de ambos os lados:
Finalmente, isolando a soma:

Resposta

pi^28 = 11^2 + 13^2 + 15^2 + ldots + 1(2n-1)^2 + ldots

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