Considere a função:
em que
. É possível mostrar que os coeficientes da expansão em série de Fourier de
são:
,
. Use a identidade de Parseval para mostrar que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função
definida de forma diferente em dois intervalos e que se repete a cada 2 unidades. A gente precisa usar a Identidade de Parseval, que relaciona os coeficientes da série de Fourier de uma função com a soma dos quadrados desses coeficientes. No nosso caso, já temos os coeficientes e queremos mostrar que a soma dos inversos dos quadrados dos números ímpares resulta em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Identidade de Parseval. Ela diz que, para uma função periódica com período
, a média do quadrado da função no intervalo é igual à soma dos quadrados dos coeficientes da série de Fourier. Matemáticamente, fica assim:
Aqui,
e
são os coeficientes da série de Fourier.
Passo 3
No nosso exercício, a função
tem período
, e os coeficientes são:
-
-
para todo -
Vamos substituir esses valores na identidade de Parseval.
Passo 4
Primeiro, calculamos a média do quadrado da função:
Como
quando
e
quando
, temos:
Agora, na soma dos coeficientes na identidade de Parseval, como
, sobra só os
:
Simplificando, temos:
Mas isso não faz sentido, então vamos reavaliar. Na verdade, a média do quadrado da função deve ser igual à soma dos quadrados dos coeficientes. Então, a expressão correta fica:
Subtraindo
de ambos os lados:
Ops, parece que houve um erro aqui. Vamos recomeçar e calcular os
adequadamente.
Sabemos que:
E
, então:
Isso significa que
é zero para
par e
para
ímpar. Assim, a soma só vai considerar os termos ímpares:
Voltando à identidade de Parseval:
Subtraindo
de ambos os lados:
Mas na verdade, a identidade correta é:
Subtraindo
de ambos os lados:
Finalmente, isolando a soma: