Resolva o problema de valor inicial:
l d xd t=-x-2 y d yd t=3 x-y
com x(0)=0 e y(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial de um sistema linear homogêneo de equações diferenciais de ordem 1 com coeficientes constantes: temos
dxdt=-x-2y, dydt=3x-y,
com condições iniciais x(0)=0 e y(0)=0. Vamos usar o fato de que sistemas lineares homogêneos admitem a solução trivial e o teorema de unicidade.

Passo 2

Escrevendo em forma matricial, definimos
x(t)=x(t)y(t), A=-1 & -23 & -1,
pelo que o sistema fica
x'(t)=A,x(t)
É imediato verificar que a solução
x(t)=00
satisfaz essa equação.

Passo 3

Vamos checar as condições iniciais substituindo t=0 em x(t)=0:
x(0)=0, y(0)=0,
que coincide com as dadas.

Passo 4

Como o sistema é linear e os coeficientes de A são constantes (portanto contínuos), pelo teorema de existência e unicidade de soluções de problemas de valor inicial, a única solução que satisfaz x(0)=0 e y(0)=0 é a solução trivial.

Resposta

x(t)=0,\quad y(t)=0

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