Resolva o problema de valor inicial:
e
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial de um sistema linear homogêneo de equações diferenciais de ordem 1 com coeficientes constantes: temos
com condições iniciais
e
. Vamos usar o fato de que sistemas lineares homogêneos admitem a solução trivial e o teorema de unicidade.
Passo 2
Escrevendo em forma matricial, definimos
pelo que o sistema fica
É imediato verificar que a solução
satisfaz essa equação.
Passo 3
Vamos checar as condições iniciais substituindo
em
:
que coincide com as dadas.
Passo 4
Como o sistema é linear e os coeficientes de
são constantes (portanto contínuos), pelo teorema de existência e unicidade de soluções de problemas de valor inicial, a única solução que satisfaz
e
é a solução trivial.
Resposta
x(t)=0,\quad y(t)=0