(1,0) Suponha que uma escada de comprimento l=3,04 m, com massa m1=13,3 kg, repouse contra uma parede lisa em um ângulo de theta=24,8^circ. Um estudante, que tem massa de mm=62,0 kg, está em pé na escada em um degrau que dista, ao longo da escada, r=1,43 m, (a) 1, dindo de onde a escada toca o chão.
Calcule as forças que a parede e o chão exercem sobre a escada.

Passo 1

O enunciado descreve uma escada homogênea de comprimento l=3,04,m e massa m1=13,3,kg que encosta, sem atrito, numa parede, formando um ângulo theta=24,8^circ com o chão. Um estudante de massa mm=62,0,kg está parado num degrau a uma distância r=1,43,m ao longo da escada, medida a partir do ponto de contato com o chão. Queremos achar:
  • a força horizontal FW que a parede exerce sobre a escada;
  • no ponto de contato com o chão, a força de atrito Ff e a força normal vertical N.
Conteúdo: estática de corpo rígido em equilíbrio, aplicado soma de forças e soma de torques.

Passo 2

Vamos considerar as reações na escada:
1. Na parede (ponto mais alto): reação normal horizontal ,FW (sem atrito).
2. No chão (ponto mais baixo): força normal vertical ,N e força de atrito horizontal ,Ff.
Como o sistema está em repouso, temos
sum Fx=0, sum Fy=0, sum tauO=0
sendo O o ponto de contato da escada com o chão.

Passo 3

Equilíbrio das forças verticais e horizontais:
sum Fy: N - l(m1 + mmr),g = 0 Longrightarrow N = (m1 + mm),g
sum Fx: Ff - FW = 0 Longrightarrow Ff = FW

Passo 4

Equilíbrio de torques em relação a O: a única força que gera torque oposto aos pesos é FW, aplicada no topo da escada, horizontalmente. Tomando o sentido horário como positivo para os torques dos pesos, e sabendo que o braço de FW tem comprimento vertical lsintheta,
sum tauO=0: m1 g l(tfrac l2costhetar) + mm g l(rcosthetar) - FW,(lsintheta) =0
Isolando FW:
FW =gcosthetalsintheta,l(m1, l2 + mm,rr)

Passo 5

Substituindo valores numéricos ( g=9,8,m/ s^2, l=3,04,m, m1=13,3,kg, mm=62,0,kg, r=1,43,m, theta=24,8^circ):
m1, l2 + mm,r =13,3cdot1,52 + 62,0cdot1,43 approx108,9;kgcdot m,
gcosthetalsintheta =9,8cos24,8^circ3,04,sin24,8^circ approx6,95;m^-1,
FWapprox6,95times108,9approx757;N
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Ff = FW approx757;N, N = (13,3 + 62,0),9,8 approx738;N

Resposta

Força que a parede exerce na escada:
FW approx757;N,(horizontal)
No chão, a escada sofre:
força de atrito Ffapprox757;N (horizontal, oposta a FW), ç
força normal Napprox738;N (vertical para cima) ç

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