Determine a função do tempo, x(t), para cada uma das seguintes transformadas de Laplace e suas regiões de convergência associadas:
H2(s)=ss^2+s+1,
Pre s>-12

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre Transformada de Laplace! A gente precisa encontrar a função do tempo, x(t), que corresponde à transformada dada H2(s) = ss^2+s+1. Além disso, vamos identificar a região de convergência, que nesse caso é Pres > -12. Para isso, vamos usar conhecimentos de transformadas inversas de Laplace e manipulação algébrica.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da transformada: s^2 + s + 1. Para facilitar a inversão, vamos completar o quadrado. A ideia é reescrever o polinômio de segundo grau de forma que fique mais fácil de associar com as tabelas de transformadas.
Completemos o quadrado:
s^2 + s + 1 = (s + 12)^2 + 1 - (12)^2 = (s + 12)^2 + 34

Passo 3

Agora, nossa transformada fica:
H2(s) = s(s + 12)^2 + 34
Vamos fazer uma mudança de variável para simplificar:
u = s + 12
Então:
s = u - 12
Substituindo na expressão de H2(s):
H2(s) = u - 12u^2 + (raiz32)^2

Passo 4

Agora, a gente pode separar a fração em duas partes:
H2(s) = uu^2 + (raiz32)^2 - 12u^2 + (raiz32)^2
Reconhecemos que essas são formas padrão das transformadas de Laplace para funções cosseno e seno multiplicadas por exponenciais.

Passo 5

Aplicando a transformada inversa de Laplace, lembrando que:
L^-1s - a(s - a)^2 + b^2 = e^at cos(bt)
L^-1b(s - a)^2 + b^2 = e^at sin(bt)
No nosso caso, a = -12 e b = raiz32.

Passo 6

Aplicando essas fórmulas:
L^-1uu^2 + (raiz32)^2 = e^-12t cos(raiz32 t)
L^-112u^2 + (raiz32)^2 = e^-12t sin(raiz32 t)

Passo 7

Juntando as duas partes, temos:
x(t) = e^-12t cos(raiz32 t) - 1raiz3 e^-12t sin(raiz32 t)

Resposta

A função do tempo é:
x(t) = e^-12t cos(raiz32 t) - 1raiz3 e^-12t sin(raiz32 t)
E a região de convergência associada é Pres > -12.

Exercícios relacionados