Determine a função do tempo, , para cada uma das seguintes transformadas de Laplace e suas regiões de convergência associadas: ,
Pre
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre Transformada de Laplace! A gente precisa encontrar a função do tempo, , que corresponde à transformada dada . Além disso, vamos identificar a região de convergência, que nesse caso é . Para isso, vamos usar conhecimentos de transformadas inversas de Laplace e manipulação algébrica.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da transformada: . Para facilitar a inversão, vamos completar o quadrado. A ideia é reescrever o polinômio de segundo grau de forma que fique mais fácil de associar com as tabelas de transformadas.
Completemos o quadrado:
Passo 3
Agora, nossa transformada fica:
Vamos fazer uma mudança de variável para simplificar:
Então:
Substituindo na expressão de :
Passo 4
Agora, a gente pode separar a fração em duas partes:
Reconhecemos que essas são formas padrão das transformadas de Laplace para funções cosseno e seno multiplicadas por exponenciais.
Passo 5
Aplicando a transformada inversa de Laplace, lembrando que: