Determine a posição r(t) em cada caso, sabendo a velocidade e a posição inicial:
r^prime(t)=t^2 i+(t+1) j+cos t k e r(0)=i-j-k.
(Dica: integrar as funções componentes.)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a posição vetorial vec r(t) sabendo que a velocidade é e que a condição inicial é vec r'(t)=t^2,vec i+(t+1),vec j+cos t,vec k. O conteúdo principal aqui é integração de funções vetoriais componentes: integrar cada componente de nos dá a respectiva componente de vec r(0)=vec i-vec j-vec k.

Passo 2

Para achar vec r(t), integramos componente a componente: para x: rx(t)=integral t^2,dt=t^33+C1; para y: ry(t)=integral (t+1),dt=t^22+t+C2; e para z: rz(t)=integral cos t,dt=sin t+C3 Cada constante Ci surge porque estamos fazendo uma integral indefinida.

Passo 3

Agora usamos a condição inicial vec r(0)= (rx(0),ry(0),rz(0))=(1,-1,-1). Substituindo t=0: C1=1, C2=-1 e C3=-1. Assim cada constante fica fixada para satisfazer vec r(0)=vec i-vec j-vec k.

Resposta

vec r(t)=l(t^33+1r),vec i+l(t^22+t-1r),vec j+(sin t-1),vec k

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