Sejam as funções de transferência abaixo. Localize zeros e pólos no plano imaginário times real. Os sistemas são estáveis?
s^2-s-12s^5-s^4+7 s^3-59 s^2+192 s+260

Passo 1

Beleza, a questão dá uma função de transferência
H(s) = s^2 - s - 12s^5 - s^4 + 7s^3 - 59s^2 + 192s + 260
e pede pra gente achar os zeros (raízes do numerador) e os polos (raízes do denominador) no plano complexo, e dizer se o sistema é estável.
Conteúdo: análise de sistemas em Laplace, fatoração de polinômios e teste de estabilidade (polos no semiplano esquerdo). Vamos precisar fatorar numerador e denominador passo a passo.

Passo 2

Primeiro, zeros = raízes do numerador
Numerador:
s^2 - s - 12
A gente procura dois números que multipliquem –12 e somem –1. Esses são –4 e +3. Então:
s^2 - s - 12 = (s - 4)(s + 3)
Logo, os zeros são
s = 4 e s = -3

Passo 3

Agora, polos = raízes do denominador
Denominador:
s^5 - s^4 + 7s^3 - 59s^2 + 192s + 260
  1. Testamos raízes inteiras (racionais). Descobrimos que s = -1 anula o polinômio.
  2. Fazendo divisão sintética por (s + 1), sobra um quociente de quarto grau:
s^4 - 2s^3 + 9s^2 - 68s + 260

Passo 4

Fatoramos esse quartic em dois quadráticos:
s^4 - 2s^3 + 9s^2 - 68s + 260 = (s^2 - 6s + 13),(s^2 + 4s + 20)
Então o denominador completo é
(s + 1),(s^2 - 6s + 13),(s^2 + 4s + 20)
Agora achamos as raízes de cada parte:
  • s + 1 = 0 ;Rightarrow; s = -1
  • s^2 - 6s + 13 = 0 ;Rightarrow; s = 6 pm raiz36 - 522 = 3 pm 2i
  • s^2 + 4s + 20 = 0 ;Rightarrow; s = -4 pm raiz16 - 802 = -2 pm 4i

Passo 5

Pra estabilidade, todo polo precisa ter parte real negativa.
Aqui:
  • s = -1 (Re < 0) tudo bem.
  • s = 3 pm 2i (Re = +3) esses estão no semiplano direito → gera instabilidade.
  • s = -2 pm 4i (Re < 0) são estáveis.
    Mas como há polos com Re positiva, o sistema é instável.

Resposta

Zeros: s = 4 e s = -3.
Polos: s = -1,;3 pm 2i,;-2 pm 4i.
Sistema: instável.

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