Sejam as funções de transferência abaixo. Localize zeros e pólos no plano imaginário
real. Os sistemas são estáveis?
Passo 1
Beleza, a questão dá uma função de transferência
e pede pra gente achar os zeros (raízes do numerador) e os polos (raízes do denominador) no plano complexo, e dizer se o sistema é estável.
Conteúdo: análise de sistemas em Laplace, fatoração de polinômios e teste de estabilidade (polos no semiplano esquerdo). Vamos precisar fatorar numerador e denominador passo a passo.
Conteúdo: análise de sistemas em Laplace, fatoração de polinômios e teste de estabilidade (polos no semiplano esquerdo). Vamos precisar fatorar numerador e denominador passo a passo.
Passo 2
Primeiro, zeros = raízes do numerador
Numerador:
Numerador:
A gente procura dois números que multipliquem –12 e somem –1. Esses são –4 e +3. Então:
Logo, os zeros são
Passo 3
Agora, polos = raízes do denominador
Denominador:
Denominador:
- Testamos raízes inteiras (racionais). Descobrimos que
anula o polinômio. - Fazendo divisão sintética por
, sobra um quociente de quarto grau:
Passo 4
Fatoramos esse quartic em dois quadráticos:
Então o denominador completo é
Agora achamos as raízes de cada parte:
Passo 5
Pra estabilidade, todo polo precisa ter parte real negativa.
Aqui:
Aqui:
-
(Re < 0) tudo bem. -
(Re = +3) esses estão no semiplano direito → gera instabilidade. -
(Re < 0) são estáveis.
Mas como há polos com Re positiva, o sistema é instável.
Resposta
Zeros:
e
.
Polos: .
Sistema: instável.
Polos:
Sistema: instável.