A equações diferencial apresentada a seguir descreve o comportamento dinâmico de um sistema linear cuja entrada é u(t) e a saída é y(t). Determine a função de transferência de e identifique os polos e os zeros.
d^3 yd t^3+3 d^2 yd t^2+4 d yd t+2 y(t)=2 d ud t+u(t)

Passo 1

Então, o enunciado pede pra gente pegar a equação diferencial
d^3 yd t^3 + 3 d^2 yd t^2 + 4 d yd t + 2,y(t) ;=; 2 d ud t + u(t)
e achar a função de transferência , além de identificar polos e zeros.
Conteúdo: transformada de Laplace, funções de transferência, definição de polos e zeros.
Vamos precisar assumir condições iniciais nulas e usar as propriedades da Laplace para derivadas.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em cada termo (com CI = 0) usamos:
Ltfracd^n ydt^n=s^nY(s) e Ltfracd^m udt^m=s^mU(s)
Então a parte de s^3Y(s) + 3s^2Y(s) +4sY(s) +2Y(s) ;=;(s^3 +3s^2 +4s +2),Y(s), vira
2l(sU(s)r)+1cdot U(s) ;=;(2s+1),U(s)
e a parte de vira

Passo 3

Agora basta isolar a razão (s^3 +3s^2 +4s +2),Y(s) =(2s+1),U(s) Longrightarrow G(s)=Y(s)U(s) =2s+1s^3+3s^2+4s+2 :

Passo 4

Zeros são as raízes do numerador 2s+1=0 ;Longrightarrow; s=-tfrac12 .

Passo 5

Polos são as raízes do denominador (-1)^3+3(-1)^2+4(-1)+2=-1+3-4+2=0, .
Testando s^3+3s^2+4s+2=(s+1)l(s^2+2s+2r) vemos que anula:
s=-1pm j
logo é fator. Fazendo divisão polinomial obtemos
As raízes de são

Resposta

Função de transferência:
G(s)=2s+1s^3+3s^2+4s+2
Zero em .
Polos em .

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