Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela intersecção das duas superfícies.
(a) O cone z=raizx^2+y^2 e o plano z=1+y
(b) O parabolóide hiperbólico z=x^2-y^2 e o cilindro x^2+y^2=1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a parametrização vetorial da curva que resulta da intersecção de duas superfícies em cada item. Vamos usar técnicas de parametrização adequadas: coordenadas polares quando aparecerem expressões como x^2+y^2 e parametrização circular para cilindros.

Passo 2

Para o item (a), notamos que o cone z=raizx^2+y^2 sugere coordenadas polares:
  • Definimos x=rcos t, y=rsin t e então z=r.
  • A interseção com o plano z=1+y impõe r=1+rsin t. Logo,
r,(1-sin t)=1Longrightarrow r=11-sin t

Passo 3

  • Substituindo de volta, obtemos a parametrização
r(t)=l(cos t1-sin t,;sin t1-sin t,;11-sin tr), tin[0,2pi), tneqtfracpi2

Passo 4

No item (b), temos o cilindro x^2+y^2=1 e o paraboloide hiperbólico z=x^2-y^2:
  • No cilindro, usamos x=cos t, y=sin t.
  • Então z=cos^2t-sin^2t=cos(2t).

Passo 5

  • A parametrização fica
r(t)=l(cos t,;sin t,;cos(2t)r), tin[0,2pi]

Resposta

(a) r(t)=l(tfraccos t1-sin t,,tfracsin t1-sin t,,tfrac11-sin tr), tin[0,2pi), tneqtfracpi2
(b) r(t)=l(cos t,,sin t,,cos(2t)r), tin[0,2pi]

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