Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela intersecção das duas superfícies.
(a) O cone
e o plano
(b) O parabolóide hiperbólico
e o cilindro
.
(a) O cone
(b) O parabolóide hiperbólico
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a parametrização vetorial da curva que resulta da intersecção de duas superfícies em cada item. Vamos usar técnicas de parametrização adequadas: coordenadas polares quando aparecerem expressões como
e parametrização circular para cilindros.
Passo 2
Para o item (a), notamos que o cone
sugere coordenadas polares:
- Definimos
, e então . - A interseção com o plano
impõe . Logo,
Passo 3
- Substituindo de volta, obtemos a parametrização
Passo 4
No item (b), temos o cilindro
e o paraboloide hiperbólico
:
- No cilindro, usamos
, . - Então
.
Passo 5
- A parametrização fica
Resposta
(a)
(b)