Encontrar uma equação vetorial das seguinte curvas:
(a) 2 x-5 y+z=4, y-x=4
(b) x^2+y^2=4, z=4
© y=2 x^2, z=x^3
(d) 2(x+1)^2+y^2=10, z=2
(e) x=e^y, z=e^x
(f) Segmento de reta de A(2,1,2) a B(-1, 1, 3)
(g) Segmento de reta de C(0,0,1) a D(1,0, 0)
(h) Parábola y= pm raizx, 0 <= x <= 1
(i) x^2+y^2+z^2=2 y, z=y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar parametrações vetoriais (equações vetoriais) para curvas dadas por interseções de superfícies, gráficos de funções ou segmentos de reta.

Passo 2

Para as interseções de duas superfícies (casos a e i), vamos escolher um parâmetro livre e resolver o sistema substituindo numa das equações.
Para curvas definidas por equações cilíndricas ou circulares no plano XY (casos b e d), usamos parâmetros trigonométricos padrão (cos , sin ) ajustando raios e centros.
Para gráficos de funções de x (casos c e e), basta tomar x = t e expressar y e z em função de t.
Para segmentos de reta (casos f e g), usamos a forma r(t)= P0 + t( P1- P0) com 0<= t<=1.
Para curvas com duas ramificações (caso h), parametrizamos separadamente cada ramo usando x = t, y = ±√t, com 0<= t<=1.

Resposta

(a) r(t)=llang<= t,,t+4,,3t+24rrang<=,;tin R
(b) r(t)=llang<=2cos t,,2sin t,,4rrang<=,;tin[0,2pi]
© r(t)=llang<= t,,2t^2,,t^3rrang<=,;tin R
(d) r(t)=llang<=-1+raiz5cos t,,raiz10sin t,,2rrang<=,;tin[0,2pi]
(e) escolhendo y=t: r(t)=llang<= e^t,,t,,e^e^trrang<=,;tin R
(f) de A(2,1,2) a B(-1,1,3): r(t)=lang<=2,1,2rang<= + tlang<=-3,0,1rang<=,;tin[0,1]
(g) de C(0,0,1) a D(1,0,0): r(t)=lang<=0,0,1rang<= + tlang<=1,0,-1rang<=,;tin[0,1]
(h) ramo positivo: r(t)=lang<= t,,raiz t,,0rang<=; ramo negativo: r(t)=lang<= t,,-raiz t,,0rang<=,;tin[0,1]
(i) interseção de x^2+y^2+z^2=2y com z=y: r(t)=llang<=tfrac1raiz2cos t,,tfrac12+tfrac12sin t,,tfrac12+tfrac12sin trrang<=,;tin[0,2pi]

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