Sejam f(t)=t i+2 t^2 j+3 t^3 k e g(t)=2 t i+j-3 t^2 k, t >= 0. Calcular:
(a) lim t 1[3 f(t)-12 g(t)]
(b) lim t 1[f(t) cdot g(t)]
© lim t 1[f(t) times g(t)]

Passo 1

A questão dá duas funções vetoriais de variável real, f(t)=t,i+2t^2,j+3t^3,k e g(t)=2t,i+j-3t^2,k, e pede limites quando tto1 de combinações lineares, produto escalar e produto vetorial. O conteúdo aqui é continuidade de funções vetoriais e propriedades de operações vetoriais (linearidade, dot e cross). Vamos precisar usar que funções polinomiais são contínuas e calcular f(1) e g(1).

Passo 2

Como polinômios são contínuos, podemos simplesmente avaliar em t=1. Temos: f(1)=1,i+2,j+3,k, g(1)=2,i+1,j-3,k

Passo 3

Para o item (a), usamos a linearidade: 3f(1)=3(1,2,3)=(3,6,9), tfrac12g(1)=l(1,tfrac12,-tfrac32r) Então 3f(1)-tfrac12g(1)=(3-1,6-tfrac12,9-(-tfrac32))=(2,tfrac112,tfrac212)

Passo 4

No item (b), calculamos o produto escalar: f(1)cdotg(1)=(1)(2)+(2)(1)+(3)(-3)=2+2-9=-5

Passo 5

Para o item ©, fazemos o determinante para o produto vetorial: f(1)timesg(1)=i&j&k1&2&32&1&-3=-9,i+9,j-3,k

Resposta

(a) (2,,11/2,,21/2) (b) -5 © (-9,,9,,-3)

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