Determine uma função y=f(x), definida num intervalo aberto I, com 1 \in I, tal que f(1)=1 \mathrm{e}, para todo x \mathrm{em} I,
\frac{d y}{d x}=x y .

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma função y=f(x), definida em um intervalo aberto I com 1\in I, tal que f(1)=1 e, para todo x em I,
\frac{dy}{dx}=x\,y.
Informações dadas:
  • A equação diferencial é \dfrac{dy}{dx}=x\,y.
  • A condição inicial é f(1)=1.
  • A solução deve ser definida em algum intervalo aberto I que contenha 1.

Passo 2

Escolha do método: esta é uma equação diferencial de primeira ordem em que a derivada de y é um produto de uma função de x por y. O método mais direto e básico é separar variáveis (separação de variáveis). Alternativa: tratar como equação linear y' - x y=0 e usar fator integrante — que dá o mesmo resultado, mas separação é mais curta e elementar, então usaremos separação de variáveis.

Passo 3

Separar variáveis significa rearranjar a equação de forma que todos os termos envolvendo y fiquem de um lado e os termos envolvendo x fiquem do outro. Partindo de
\frac{dy}{dx}=x\,y,
se y\neq 0 podemos dividir por y e obter
\frac{1}{y}\,dy = x\,dx.
Explicação didática: dividir por y é permitido sempre que y não seja zero. A equação separada indica que a variação relativa de y está relacionada com x\,dx.

Passo 4

Integrar ambos os lados para encontrar y. Integramos em x nos dois lados (no lado esquerdo a variável de integração é y, no direito é x):
\int \frac{1}{y}\,dy = \int x\,dx.
Conhecimento necessário: \int \frac{1}{y}\,dy = \ln|y| + C_1 e \int x\,dx = \dfrac{x^2}{2} + C_2, onde C_1,C_2 são constantes de integração. Então podemos escrever
\ln|y| = \frac{x^2}{2} + C,
onde C representa a constante C_2-C_1. Observação: a presença de |y| vem da integral do inverso de y.

Passo 5

Isolar y exponenciando ambos os lados:
|y| = e^{\frac{x^2}{2}+C} = e^{C}\,e^{\frac{x^2}{2}}.
Definindo A=e^{C}>0 (constante positiva), obtemos
|y| = A\,e^{\frac{x^2}{2}}.
Isso corresponde a duas possibilidades y=A\,e^{\frac{x^2}{2}} ou y=-A\,e^{\frac{x^2}{2}}. Em termos práticos, a solução geral pode ser escrita como
y = C'\,e^{\frac{x^2}{2}},
onde C' é uma constante real arbitrária (podendo ser positiva, negativa ou zero). Observação didática: escrever a constante multiplicativa C' permite acomodar o sinal diretamente.

Passo 6

Aplicar a condição inicial f(1)=1 para determinar C'. Substituindo x=1 e y=1 em y=C' e^{\frac{x^2}{2}} obtemos
1 = C'\,e^{\frac{1^2}{2}} = C'\,e^{\frac{1}{2}}.
Logo
C' = e^{-\frac{1}{2}}.

Passo 7

Substituir C' na expressão geral e simplificar. Assim a solução que satisfaz a condição inicial é
y = e^{-\frac{1}{2}}\,e^{\frac{x^2}{2}} = e^{\frac{x^2-1}{2}}.
Verificação rápida (útil na prova): calcular \dfrac{dy}{dx} para checar a equação diferencial.
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(e^{\frac{x^2-1}{2}}\right) = e^{\frac{x^2-1}{2}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2-1}{2}\right) = e^{\frac{x^2-1}{2}}\cdot x = x\,y,
portanto a equação diferencial é satisfeita. A condição y(1)=1 também é satisfeita porque e^{(1-1)/2}=e^0=1.

Passo 8

Escolha do intervalo I: a função y=e^{\frac{x^2-1}{2}} é bem definida e suave para todo x\in\mathbb{R}. Portanto podemos tomar I=\mathbb{R}, que é um intervalo aberto que contém 1. Em uma prova, se pedirem apenas um intervalo aberto contendo 1, basta escolher I=\mathbb{R} ou qualquer intervalo aberto que contenha 1.

Resposta

f(x)=e^{\frac{x^{2}-1}{2}},\quad I=\mathbb{R}

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