Determine uma função
, definida num intervalo aberto
, com
, tal que
, para todo
,
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma função
, definida em um intervalo aberto
com
, tal que
e, para todo
em
,
Informações dadas:
- A equação diferencial é
. - A condição inicial é
. - A solução deve ser definida em algum intervalo aberto
que contenha .
Passo 2
Escolha do método: esta é uma equação diferencial de primeira ordem em que a derivada de
é um produto de uma função de
por
. O método mais direto e básico é separar variáveis (separação de variáveis). Alternativa: tratar como equação linear
e usar fator integrante — que dá o mesmo resultado, mas separação é mais curta e elementar, então usaremos separação de variáveis.
Passo 3
Separar variáveis significa rearranjar a equação de forma que todos os termos envolvendo
fiquem de um lado e os termos envolvendo
fiquem do outro. Partindo de
se
podemos dividir por
e obter
Explicação didática: dividir por
é permitido sempre que
não seja zero. A equação separada indica que a variação relativa de
está relacionada com
.
Passo 4
Integrar ambos os lados para encontrar
. Integramos em
nos dois lados (no lado esquerdo a variável de integração é
, no direito é
):
Conhecimento necessário:
e
, onde
são constantes de integração. Então podemos escrever
onde
representa a constante
. Observação: a presença de
vem da integral do inverso de
.
Passo 5
Isolar
exponenciando ambos os lados:
Definindo
(constante positiva), obtemos
Isso corresponde a duas possibilidades
ou
. Em termos práticos, a solução geral pode ser escrita como
onde
é uma constante real arbitrária (podendo ser positiva, negativa ou zero). Observação didática: escrever a constante multiplicativa
permite acomodar o sinal diretamente.
Passo 6
Aplicar a condição inicial
para determinar
. Substituindo
e
em
obtemos
Logo
Passo 7
Substituir
na expressão geral e simplificar. Assim a solução que satisfaz a condição inicial é
Verificação rápida (útil na prova): calcular
para checar a equação diferencial.
portanto a equação diferencial é satisfeita. A condição
também é satisfeita porque
.
Passo 8
Escolha do intervalo
: a função
é bem definida e suave para todo
. Portanto podemos tomar
, que é um intervalo aberto que contém
. Em uma prova, se pedirem apenas um intervalo aberto contendo
, basta escolher
ou qualquer intervalo aberto que contenha
.