Determine a função
, que satisfaz as condições
Passo 1
O enunciado dá exatamente isto:
- A equação diferencial
. - O domínio de
é . - A condição inicial
.
O que se pede:
- Determinar a função
que satisfaz a equação diferencial para todo e que também satisfaz a condição inicial dada.
Passo 2
Interpretação e ideia do método (sem resolver ainda).
A equação diz que a taxa de variação de
em relação a
é proporcional ao próprio valor
(proporcionalidade constante
). Um método muito direto e elementar para resolver esse tipo de equação é o de separação de variáveis: reorganizar a equação para que todos os termos com
fiquem de um lado e todos os termos com
do outro, e então integrar. Vou aplicar esse método passo a passo.
A equação
Passo 3
Separar as variáveis. Começando de
se
não for identicamente zero podemos dividir por
(ver observação abaixo) e obter
Agora tratamos
como diferencial e reescrevemos separando
e
:
Observação importante: a função
é solução da equação original (porque
e
). Porém a condição inicial é
, que não é zero, portanto a solução que procuramos não é a solução identicamente zero e a divisão por
é legítima no processo para essa solução particular.
Passo 4
Integrar ambos os lados. Integramos em
do lado esquerdo e em
do lado direito:
Usamos a regra de integração
e
. Assim obtemos
onde
é uma constante arbitrária (combinei as constantes de integração num único
).
Passo 5
Resolver para
. Exponenciando ambos os lados:
Definindo
obtemos
, isto é
. Podemos então escrever a solução geral como
onde
é uma constante real arbitrária (assim já englobamos o sinal e o caso
).
Passo 6
Usar a condição inicial para determinar
. A condição é
. Aplicando na expressão geral:
Portanto
.
Passo 7
Escrever a solução particular e verificar rapidamente. A solução que satisfaz a condição inicial é
Verificação rápida:
, logo
é satisfeita; e
, condição inicial satisfeita.