Determine a função y=y(x), x \in \mathbb{R}, que satisfaz as condições
\frac{d y}{d x}=3 y \text { e } y(0)=-1 \text {. }

Passo 1

O enunciado dá exatamente isto:
  • A equação diferencial \dfrac{dy}{dx}=3y.
  • O domínio de x é \mathbb{R}.
  • A condição inicial y(0)=-1.
O que se pede:
  • Determinar a função y=y(x) que satisfaz a equação diferencial para todo x\in\mathbb{R} e que também satisfaz a condição inicial dada.

Passo 2

Interpretação e ideia do método (sem resolver ainda).
A equação \dfrac{dy}{dx}=3y diz que a taxa de variação de y em relação a x é proporcional ao próprio valor y (proporcionalidade constante 3). Um método muito direto e elementar para resolver esse tipo de equação é o de separação de variáveis: reorganizar a equação para que todos os termos com y fiquem de um lado e todos os termos com x do outro, e então integrar. Vou aplicar esse método passo a passo.

Passo 3

Separar as variáveis. Começando de
\frac{dy}{dx}=3y,
se y não for identicamente zero podemos dividir por y (ver observação abaixo) e obter
\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx}=3.
Agora tratamos \dfrac{dy}{dx} como diferencial e reescrevemos separando y e x:
\frac{1}{y}\,dy=3\,dx.
Observação importante: a função y(x)\equiv 0 é solução da equação original (porque \dfrac{d}{dx}0=0 e 3\cdot 0=0). Porém a condição inicial é y(0)=-1, que não é zero, portanto a solução que procuramos não é a solução identicamente zero e a divisão por y é legítima no processo para essa solução particular.

Passo 4

Integrar ambos os lados. Integramos em y do lado esquerdo e em x do lado direito:
\int \frac{1}{y}\,dy=\int 3\,dx.
Usamos a regra de integração \int \dfrac{1}{y}\,dy=\ln|y|+C e \int 3\,dx=3x+\tilde{C}. Assim obtemos
\ln|y|=3x+C,
onde C é uma constante arbitrária (combinei as constantes de integração num único C).

Passo 5

Resolver para y. Exponenciando ambos os lados:
|y|=e^{3x+C}=e^{C}e^{3x}.
Definindo A=e^{C}>0 obtemos |y|=A e^{3x}, isto é y=\pm A e^{3x}. Podemos então escrever a solução geral como
y(x)=B e^{3x},
onde B é uma constante real arbitrária (assim já englobamos o sinal e o caso B=0).

Passo 6

Usar a condição inicial para determinar B. A condição é y(0)=-1. Aplicando na expressão geral:
y(0)=B e^{0}=B=-1.
Portanto B=-1.

Passo 7

Escrever a solução particular e verificar rapidamente. A solução que satisfaz a condição inicial é
y(x)=-e^{3x}.
Verificação rápida: \dfrac{d}{dx}\bigl(-e^{3x}\bigr)=-3e^{3x}=3(-e^{3x}), logo \dfrac{dy}{dx}=3y é satisfeita; e y(0)=-e^{0}=-1, condição inicial satisfeita.

Resposta

y(x)=-e^{3x}

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