1)

Determine y=f(x), x \in \mathbb{R}, tal que
\frac{d y}{d x}=y \text { e } f(0)=2 .

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial e uma condição inicial. Vou listar claramente o que foi informado e o que é pedido.
  • Dado: \dfrac{dy}{dx}=y para x\in\mathbb{R}.
  • Condição inicial: f(0)=2.
  • Pedido: determinar explicitamente y=f(x) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial para todos x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Observação sobre a equação: \dfrac{dy}{dx}=y é uma equação em que a derivada de y em relação a x é igual à própria função y. Isso sugere que a variável y pode ser separada de x. Antes de separar, é bom notar que a função identicamente nula y\equiv0 satisfaz a equação, mas não satisfaz a condição inicial f(0)=2. Portanto procuramos soluções não nulas que cumpram a condição inicial.

Passo 3

Aplicando o método de separação de variáveis (isolar termos com y de um lado e termos com x do outro). Supondo y\neq0 num intervalo, podemos reescrever:
\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx}=1.
Agora tratamos dx e dy como diferenciais e integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx}\,dx=\int 1\,dx.
A integral do lado esquerdo reduz a uma integral em y; explicitamente obtemos
\int \frac{1}{y}\,dy=\int 1\,dx.

Passo 4

Calcular as integrais. A primitiva de 1/y é \ln|y| e a primitiva de 1 é x, então:
\ln|y| = x + C,
onde C\in\mathbb{R} é a constante de integração. Aqui o valor absoluto aparece porque a primitiva de 1/y é \ln|y|, válida para y\neq0.

Passo 5

Isolar y exponencializando ambos os lados:
|y| = e^{x+C} = e^{C}e^{x}.
Chamando A=e^{C}>0, temos |y|=A e^{x}, então
y=\pm A e^{x}.
Podemos absorver o sinal em uma constante real K, obtendo a forma geral das soluções:
y = K e^{x},\qquad K\in\mathbb{R}.
Essa forma inclui também a solução K=0 (a solução nula).

Passo 6

Usar a condição inicial para determinar a constante K. Como f(0)=2, temos
y(0)=K e^{0}=K=2.
Portanto K=2.

Passo 7

Conclusão e verificação rápida. A solução que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial é
y=f(x)=2e^{x}.
Verificação: \dfrac{d}{dx}\big(2e^{x}\big)=2e^{x}=y e y(0)=2e^{0}=2, ok.

Resposta

y=f(x)=2e^{x}

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