1)
Determine
, tal que
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial e uma condição inicial. Vou listar claramente o que foi informado e o que é pedido.
- Dado:
para . - Condição inicial:
. - Pedido: determinar explicitamente
que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial para todos .
Passo 2
Observação sobre a equação:
é uma equação em que a derivada de
em relação a
é igual à própria função
. Isso sugere que a variável
pode ser separada de
. Antes de separar, é bom notar que a função identicamente nula
satisfaz a equação, mas não satisfaz a condição inicial
. Portanto procuramos soluções não nulas que cumpram a condição inicial.
Passo 3
Aplicando o método de separação de variáveis (isolar termos com
de um lado e termos com
do outro). Supondo
num intervalo, podemos reescrever:
Agora tratamos
e
como diferenciais e integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo reduz a uma integral em
; explicitamente obtemos
Passo 4
Calcular as integrais. A primitiva de
é
e a primitiva de
é
, então:
onde
é a constante de integração. Aqui o valor absoluto aparece porque a primitiva de
é
, válida para
.
Passo 5
Isolar
exponencializando ambos os lados:
Chamando
, temos
, então
Podemos absorver o sinal em uma constante real
, obtendo a forma geral das soluções:
Essa forma inclui também a solução
(a solução nula).
Passo 6
Usar a condição inicial para determinar a constante
. Como
, temos
Portanto
.
Passo 7
Conclusão e verificação rápida. A solução que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial é
Verificação:
e
, ok.