Encontre os pontos nos quais f é descontínua.
f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1+x^{2} & \text { se } x \leqslant 0 \\\\ 2-x & \text { se } 0<x \leqslant 2 \\\ (x-2)^{2} & \text { se } x>2 \end{array}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os pontos em que f é descontínua. As informações dadas sobre f são:
  • Para x \leqslant 0: f(x)=1+x^{2}.
  • Para 0<x \leqslant 2: f(x)=2-x.
  • Para x>2: f(x)=(x-2)^{2}.
As possíveis pontos problemáticos (onde a definição muda) são x=0 e x=2. Em todos os outros pontos a função é dada por uma expressão polinomial em uma vizinhança, então só precisamos verificar continuidade em 0 e em 2.

Passo 2

Lembrete sobre definição de continuidade num ponto (passo-a-passo didático): uma função f é contínua em a se e somente se existir o limite \lim_{x\to a} f(x) e esse limite for igual ao valor da função no ponto, isto é,
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Para funções definidas por partes, é prático usar limites laterais: a existência do limite \lim_{x\to a} f(x) equivale a
\lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x),
e então ambos devem ser iguais a f(a). Vou aplicar exatamente isso em a=0 e a=2.
Também é útil lembrar que polinômios (como 1+x^{2}, 2-x, (x-2)^{2}) são contínuos em todo \mathbb{R}. Portanto, dentro de cada intervalo onde a função é dada por um desses polinômios, f é contínua.

Passo 3

Conclusão preliminar baseada no passo anterior: f é contínua em todos os pontos estritamente internos aos intervalos (-\infty,0), (0,2) e (2,\infty) porque lá f é um polinômio. Restam verificar x=0 e x=2.

Passo 4

Calcular as duas limites laterais e o valor de f em 0.
Limite pela esquerda:
\lim_{x\to 0^-} f(x)=\lim_{x\to 0^-} (1+x^{2})=1+0^{2}=1.
Limite pela direita:
\lim_{x\to 0^+} f(x)=\lim_{x\to 0^+} (2-x)=2-0=2.
Valor da função em 0 (usar a regra x\leqslant0):
f(0)=1+0^{2}=1.
Comparando: \lim_{x\to 0^-} f(x)=1 e \lim_{x\to 0^+} f(x)=2. Como as duas limites laterais são diferentes (e a limite à direita é diferente de f(0)), o limite \lim_{x\to 0} f(x) não existe e, portanto, f é descontínua em x=0. Esse tipo de descontinuidade é uma descontinuidade de salto (jump).

Passo 5

Calcular as duas limites laterais e o valor de f em 2.
Limite pela esquerda (usar a segunda expressão 2-x):
\lim_{x\to 2^-} f(x)=\lim_{x\to 2^-} (2-x)=2-2=0.
Limite pela direita (usar a terceira expressão (x-2)^{2}):
\lim_{x\to 2^+} f(x)=\lim_{x\to 2^+} (x-2)^{2}=(2-2)^{2}=0.
Valor da função em 2 (a segunda regra vale para 0<x\leqslant2, logo inclui x=2):
f(2)=2-2=0.
Comparando: \lim_{x\to 2^-} f(x)=\lim_{x\to 2^+} f(x)=0 e esse valor é igual a f(2)=0. Portanto \lim_{x\to 2} f(x)=f(2) e f é contínua em x=2.

Passo 6

Conclusão final com base nas verificações: a única descontinuidade ocorre em x=0. Em todo ponto diferente de 0 a função é contínua (em especial é contínua em x=2).

Resposta

\{0\}

Exercícios relacionados