Encontre os pontos nos quais
é descontínua.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os pontos em que
é descontínua. As informações dadas sobre
são:
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
As possíveis pontos problemáticos (onde a definição muda) são
e
. Em todos os outros pontos a função é dada por uma expressão polinomial em uma vizinhança, então só precisamos verificar continuidade em
e em
.
Passo 2
Lembrete sobre definição de continuidade num ponto (passo-a-passo didático): uma função
é contínua em
se e somente se existir o limite
e esse limite for igual ao valor da função no ponto, isto é,
Para funções definidas por partes, é prático usar limites laterais: a existência do limite
equivale a
e então ambos devem ser iguais a
. Vou aplicar exatamente isso em
e
.
Também é útil lembrar que polinômios (como
,
,
) são contínuos em todo
. Portanto, dentro de cada intervalo onde a função é dada por um desses polinômios,
é contínua.
Passo 3
Conclusão preliminar baseada no passo anterior:
é contínua em todos os pontos estritamente internos aos intervalos
,
e
porque lá
é um polinômio. Restam verificar
e
.
Passo 4
Calcular as duas limites laterais e o valor de
em
.
Limite pela esquerda:
Limite pela direita:
Valor da função em
(usar a regra
):
Comparando:
e
. Como as duas limites laterais são diferentes (e a limite à direita é diferente de
), o limite
não existe e, portanto,
é descontínua em
. Esse tipo de descontinuidade é uma descontinuidade de salto (jump).
Passo 5
Calcular as duas limites laterais e o valor de
em
.
Limite pela esquerda (usar a segunda expressão
):
Limite pela direita (usar a terceira expressão
):
Valor da função em
(a segunda regra vale para
, logo inclui
):
Comparando:
e esse valor é igual a
. Portanto
e
é contínua em
.
Passo 6
Conclusão final com base nas verificações: a única descontinuidade ocorre em
. Em todo ponto diferente de
a função é contínua (em especial é contínua em
).