Uma partícula desloca-se sobre o eixo
com função de posição
. Determine
, sabendo que
e
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que importa):
- A partícula move-se sobre o eixo
com posição , para . - A velocidade é dada por
. - A condição inicial é
.
Observação importante: a expressão
está ambígua (não foi definido o que é
). Para poder resolver o problema de forma objetiva, vou assumir que houve um erro de digitação e que o autor quis dizer
(caso a intenção fosse outra, a resposta muda). Vou seguir essa interpretação e calcular
a partir de
.
Passo 2
Lembrete e ideia do método (passo-a-passo básico):
- A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja,
- Para obter
a partir de devemos integrar a velocidade em relação ao tempo:
onde
é a constante de integração que será determinada pela condição inicial
.
Explicando isso de forma bem simples: derivar é “ir para frente” (posição → velocidade), integrar é “voltar” (velocidade → posição). A constante que aparece na integração corresponde ao valor inicial da posição.
Passo 3
Substituindo a velocidade que estamos assumindo:
Então fazemos a integral termo a termo. Regras usadas:
-
(regra de potência: para ), -
.
Portanto a primitiva de
é
onde
é a constante que falta determinar.
Passo 4
Determinar a constante
usando a condição inicial
.
Substituindo em
:
Substituindo
Como
, segue que
.
Passo 5
Logo a posição procurada é
Verificação rápida (boa prática para a prova): calcular a derivada para confirmar a velocidade:
que coincide com
. Também
confere.