Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com função de posição x= x(t), t \geq 0. Determine x=x(t), sabendo que
v(t)=f^{2}-1 e x(0)=-1

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que importa):
  • A partícula move-se sobre o eixo x com posição x=x(t), para t\ge 0.
  • A velocidade é dada por v(t)=f^{2}-1.
  • A condição inicial é x(0)=-1.
Observação importante: a expressão f^{2} está ambígua (não foi definido o que é f). Para poder resolver o problema de forma objetiva, vou assumir que houve um erro de digitação e que o autor quis dizer v(t)=t^{2}-1 (caso a intenção fosse outra, a resposta muda). Vou seguir essa interpretação e calcular x(t) a partir de v(t)=t^{2}-1.

Passo 2

Lembrete e ideia do método (passo-a-passo básico):
  • A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja,
v(t)=\frac{dx}{dt}.
  • Para obter x(t) a partir de v(t) devemos integrar a velocidade em relação ao tempo:
x(t)=\int v(t)\,dt + C,
onde C é a constante de integração que será determinada pela condição inicial x(0)=-1.
Explicando isso de forma bem simples: derivar é “ir para frente” (posição → velocidade), integrar é “voltar” (velocidade → posição). A constante que aparece na integração corresponde ao valor inicial da posição.

Passo 3

Substituindo a velocidade que estamos assumindo:
v(t)=t^{2}-1.
Então fazemos a integral termo a termo. Regras usadas:
  • \displaystyle \int t^{2}\,dt=\frac{t^{3}}{3} (regra de potência: \int t^{n}\,dt=\dfrac{t^{n+1}}{n+1} para n\neq-1),
  • \displaystyle \int (-1)\,dt=-t.
Portanto a primitiva de v(t) é
x(t)=\frac{t^{3}}{3}-t + C,
onde C é a constante que falta determinar.

Passo 4

Determinar a constante C usando a condição inicial x(0)=-1.
Substituindo t=0 em x(t):
x(0)=\frac{0^{3}}{3}-0 + C = C.
Como x(0)=-1, segue que C=-1.

Passo 5

Logo a posição procurada é
x(t)=\frac{t^{3}}{3}-t-1.
Verificação rápida (boa prática para a prova): calcular a derivada para confirmar a velocidade:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{t^{3}}{3}-t-1\right)=t^{2}-1,
que coincide com v(t). Também x(0)=-1 confere.

Resposta

x(t)=\frac{t^{3}}{3}-t-1

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