Determine a função y=y(x), x>0, tal que
d yd x=x+1raizx e y(1)=0

Passo 1

O enunciado pede a função y=y(x) para x>0 que satisfaz tfracdydx = x + tfrac1raizx e a condição inicial y(1)=0. O conteúdo é integração de soma de funções.

Passo 2

Integramos termo a termo para encontrar y(x). Escrevendo:
y(x) = integrall(x + x^-1/2r),dx
= integral x,dx + integral x^-1/2,dx
= x^22 + 2x^1/2 + C
Aqui usamos que integral x,dx = x^2/2 e que integral x^alpha,dx = x^alpha+1/(alpha+1) para alphaneq -1.

Passo 3

Aplicamos a condição inicial y(1)=0. Substituindo em y(1)=1^22 + 2raiz1 + C = 0 temos tfrac12 + 2 + C = 0, logo C = -tfrac52.

Passo 4

Com o valor de C encontrado, concluímos a solução geral do problema de valor inicial.

Resposta

y(x)=x^22 + 2raizx - 52

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