Efetue, através da integral definida, o cálculo da área delimitada por:
x=0, x=1, y=1 e pelo gráfico de f(x)=x^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região limitada pelas retas x=0, x=1, y=1 e pelo gráfico de f(x)=x^3. O conteúdo necessário é a definição de área pelo método das integrais, em que usamos
\text{área}=\int_{a}^{b}\bigl(\text{função superior}-\text{função inferior}\bigr)\,dx.áçãçã

Passo 2

Em [0,1] temos x^3\le1, logo a curva y=1 é a função superior e y=x^3 é a função inferior. Portanto, a área vale
A = \int_{0}^{1}\bigl(1 - x^3\bigr)\,dx.

Passo 3

Vamos separar a integral em duas partes:
A = \int_{0}^{1}1\,dx \;-\;\int_{0}^{1}x^3\,dx.

Passo 4

Calculemos cada uma:
\int_{0}^{1}1\,dx = \bigl[x\bigr]_{0}^{1} = 1,
\int_{0}^{1}x^3\,dx = \left[\frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}.
Subtraindo, obtemos
A = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{4}

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