Determine se a funçio sen( a x)+\cos (a x), onde a é uma constante, è autofunçäo do operador d dx

Passo 1

Vou deixar claro o que o problema pede e as informações dadas.
  • Dada a função \;f(x)=\sin(ax)+\cos(ax)\;, onde a é uma constante.
  • A pergunta: determinar se f é uma autofunção (função própria, eigenfunction) do operador \dfrac{d}{dx}.
  • Lembrete do que significa ser autofunção do operador \dfrac{d}{dx}: existe um escalar \lambda (valor próprio) tal que
\frac{d}{dx}f(x)=\lambda f(x)
para todo x. Se isso ocorrer, f é autofunção associada a \lambda.

Passo 2

Calcular a derivada \dfrac{d}{dx}f(x) passo a passo, usando regras básicas:
  • Derivada de \sin(ax): aplicar a regra da cadeia. Se g(x)=\sin(u(x)) então g'(x)=u'(x)\cos(u(x)). Aqui u(x)=ax e u'(x)=a. Logo
\frac{d}{dx}\sin(ax)=a\cos(ax).
  • Derivada de \cos(ax): regra da cadeia também. Se h(x)=\cos(u(x)) então h'(x)=-u'(x)\sin(u(x)). Assim
\frac{d}{dx}\cos(ax)=-a\sin(ax).
  • Somando as duas derivadas:
\frac{d}{dx}f(x)=a\cos(ax)-a\sin(ax)=a\big(\cos(ax)-\sin(ax)\big).

Passo 3

Escrever a condição de autofunção e substituir as expressões:
A condição é
\frac{d}{dx}f(x)=\lambda f(x).
Substituindo f e a derivada encontrada:
a\big(\cos(ax)-\sin(ax)\big)=\lambda\big(\sin(ax)+\cos(ax)\big).

Passo 4

Transformar ambos os lados em combinações lineares de \sin(ax) e \cos(ax) para comparar coeficientes:
  • Lado esquerdo:
a\big(\cos(ax)-\sin(ax)\big)=(-a)\sin(ax)+a\cos(ax).
  • Lado direito:
\lambda\big(\sin(ax)+\cos(ax)\big)=\lambda\sin(ax)+\lambda\cos(ax).
Para que as duas expressões sejam iguais para todo x, os coeficientes de \sin(ax) e de \cos(ax) devem ser iguais. Isso gera o sistema
\begin{cases} - a = \lambda,\\[4pt] \;\; a = \lambda. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema de coeficientes:
Das duas equações temos -a=\lambda e a=\lambda. Igualando os dois membros que valem \lambda,
-a = a \quad\Rightarrow\quad 2a=0 \quad\Rightarrow\quad a=0.
Se a=0, então \lambda= a=0 (ou \lambda=-a=0), consistente. Se a\neq0, não existe \lambda que satisfaça simultaneamente as duas igualdades, portanto não é autofunção.

Passo 6

Explicação alternativa (intuitiva) para reforçar a ideia: escrever a soma como uma senoide deslocada
\sin(ax)+\cos(ax)=\sqrt{2}\,\sin\!\big(ax+\tfrac{\pi}{4}\big).
A derivada é
\frac{d}{dx}\big(\sqrt{2}\sin(ax+\tfrac{\pi}{4})\big)=a\sqrt{2}\cos\!\big(ax+\tfrac{\pi}{4}\big),
que é uma senoide defasada em \tfrac{\pi}{2} em relação à original. Em geral uma senoide defasada não é múltipla escalar da original, salvo no caso trivial a=0 (quando a função é constante). Isso confirma o resultado anterior.

Passo 7

Conclusão final e comentário para a prova: a verificação algébrica por coeficientes é a maneira direta e segura em prova — calcule a derivada, compare com \lambda f e veja se há um mesmo \lambda que funciona para todos os termos. Aqui só funciona no caso degenerado a=0.

Resposta

Somente quando a=0; nesse caso f(x)=1 e o auto-valor é \lambda=0.

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