Determine se a funçio sen(
, onde a é uma constante, è autofunçäo do operador d dx
Passo 1
Vou deixar claro o que o problema pede e as informações dadas.
- Dada a função
, onde é uma constante. - A pergunta: determinar se
é uma autofunção (função própria, eigenfunction) do operador . - Lembrete do que significa ser autofunção do operador
: existe um escalar (valor próprio) tal que
para todo
. Se isso ocorrer,
é autofunção associada a
.
Passo 2
Calcular a derivada
passo a passo, usando regras básicas:
- Derivada de
: aplicar a regra da cadeia. Se então . Aqui e . Logo
- Derivada de
: regra da cadeia também. Se então . Assim
- Somando as duas derivadas:
Passo 3
Escrever a condição de autofunção e substituir as expressões:
A condição é
Substituindo
e a derivada encontrada:
Passo 4
Transformar ambos os lados em combinações lineares de
e
para comparar coeficientes:
- Lado esquerdo:
- Lado direito:
Para que as duas expressões sejam iguais para todo
, os coeficientes de
e de
devem ser iguais. Isso gera o sistema
Passo 5
Resolver o sistema de coeficientes:
Das duas equações temos
e
. Igualando os dois membros que valem
,
Se
, então
(ou
), consistente. Se
, não existe
que satisfaça simultaneamente as duas igualdades, portanto não é autofunção.
Passo 6
Explicação alternativa (intuitiva) para reforçar a ideia: escrever a soma como uma senoide deslocada
A derivada é
que é uma senoide defasada em
em relação à original. Em geral uma senoide defasada não é múltipla escalar da original, salvo no caso trivial
(quando a função é constante). Isso confirma o resultado anterior.
Passo 7
Conclusão final e comentário para a prova: a verificação algébrica por coeficientes é a maneira direta e segura em prova — calcule a derivada, compare com
e veja se há um mesmo
que funciona para todos os termos. Aqui só funciona no caso degenerado
.
Resposta
Somente quando
; nesse caso
e o auto-valor é
.