Irradiando-se uma superficie de potässio com luz de frequência 6,5 \cdot 10^{14} \mathrm{~Hz} ejeta-se elétrons com velocidade 3,93-10^{5} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}. Calcule a função de trabalho do potässio e o comprimento de onda da radiação com a qual se inicia o efeito fotoelétrico.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (peguei esses valores diretamente do enunciado):
  • Frequência da luz incidente: \nu = 6,5\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
  • Velocidade dos elétrons emitidos: v = 3,93\times10^{5}\\ \mathrm{m\,s^{-1}} (interpressei 3,93-10^{5} como 3,93\times10^{5}, que é o formato habitual).
    O enunciado pede:
  • Calcular a função trabalho do potássio \varphi (em joules, e é útil também em elétron-volts).
  • Calcular o comprimento de onda limite (ou de corte) \lambda_{0} da radiação para o início do efeito fotoelétrico.
Constantes físicas que usarei (valores padrão; vou declarar o que cada símbolo significa):
  • Constante de Planck: h = 6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}.
  • Massa do elétron: m = 9,10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade da luz no vácuo: c = 2,99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
  • Carga-elementar (para converter J em eV): e = 1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C} (ou 1\\ \mathrm{eV}=1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}).

Passo 2

Breve revisão da fórmula do efeito fotoelétrico (útil na prova): a energia de um fóton é usada para vencer a função trabalho do metal e para fornecer energia cinética ao elétron. A relação é:
h\nu=\varphi+K,
onde:
  • h\nu é a energia do fóton (J),
  • \varphi é a função trabalho (J),
  • K é a energia cinética máxima dos elétrons emitidos (J).
A energia cinética (assumindo velocidade máxima fornecida) é
K=\tfrac{1}{2}mv^{2},
onde m é a massa do elétron e v a velocidade.
A partir de h\nu=\varphi+K isolamos a função trabalho:
\varphi=h\nu-K.
Para obter o comprimento de onda limite \lambda_{0} usamos que o limiar corresponde a fótons com energia exatamente \varphi, então
\lambda_{0}=\frac{hc}{\varphi}.

Passo 3

Calcular a energia cinética K passo a passo.
Primeiro o quadrado da velocidade:
v^{2}=(3,93\times10^{5})^{2}=1,54449\times10^{11}\\ \mathrm{m^{2}s^{-2}}.
Agora a energia cinética:
K=\tfrac{1}{2}mv^{2}=\tfrac{1}{2}\times(9,10938356\times10^{-31})\times(1,54449\times10^{11})\\ \mathrm{J}.
Faço a conta dos coeficientes e das potências de 10 separadamente:
0,5\times9,10938356\times1,54449 \approx 7,0342759
e a potência de 10 é 10^{-31+11}=10^{-20}. Portanto
K\approx7,0342759\times10^{-20}\\ \mathrm{J}.
Arredondando razoavelmente (duas ou três casas significativas):
K\approx7,03\times10^{-20}\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Calcular a energia do fóton incidente h\nu.
h\nu=(6,62607015\times10^{-34})\times(6,5\times10^{14})\\ \mathrm{J}.
Multiplicando os coeficientes e combinando potências de 10:
6,62607015\times6,5 \approx 43,069455975, \qquad 10^{-34+14}=10^{-20},
logo
h\nu\approx4,3069455975\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Arredondando de forma consistente:
h\nu\approx4,307\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Agora calculo a função trabalho \varphi pela diferença entre a energia do fóton e a energia cinética:
\varphi = h\nu - K.
Substituindo os valores calculados:
\varphi \approx 4,3069456\times10^{-19} - 7,0342759\times10^{-20}\\ \mathrm{J}.
Fazendo a subtração:
\varphi \approx 3,6035180\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Para ficar mais intuitivo, converto \varphi para elétron-volts usando 1\\ \mathrm{eV}=1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}:
\phi_{\mathrm{(eV)}}=\frac{3,6035180\times10^{-19}}{1,602176634\times10^{-19}}\approx2,248.
Portanto
\varphi\approx3,6035\times10^{-19}\\ \mathrm{J}\approx2,25\\ \mathrm{eV}.

Passo 6

Calcular o comprimento de onda limite \lambda_{0}.
Usarei a fórmula
\lambda_{0}=\frac{hc}{\varphi}.
Primeiro calcule hc:
hc=(6,62607015\times10^{-34})\times(2,99792458\times10^{8})\\ \mathrm{J\cdot m}\approx1,98644586\times10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m}.
Agora:
\lambda_{0}=\frac{1,98644586\times10^{-25}}{3,6035180\times10^{-19}}\\ \mathrm{m}.
Dividindo coeficientes e ajustando potências:
\lambda_{0}\approx0,55128\times10^{-6}\\ \mathrm{m}=5,5128\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para nanômetros ( 1\\ \mathrm{nm}=10^{-9}\\ \mathrm{m}):
\lambda_{0}\approx551\\ \mathrm{nm}.

Passo 7

Verificação física rápida (útil na prova): a frequência dada \nu=6,5\times10^{14}\\ \mathrm{Hz} é maior que a frequência de limiar \nu_{0}=\varphi/h. De fato \nu_{0}=\dfrac{3,6035\times10^{-19}}{6,62607015\times10^{-34}}\approx5,437\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}, e \nu>\nu_{0}, então a emissão de elétrons era esperada — consistente com o enunciado. Bom trabalho! Continue firme — isso aparece bastante em prova.

Resposta

\varphi=3,6035\times10^{-19}\\ \mathrm{J}\approx2,25\\ \mathrm{eV}
\lambda_{0}=5,5128\times10^{-7}\\ \mathrm{m}\approx551\\ \mathrm{nm}

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