Determine se as funções abaixo g: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R} são contínuas nos seus domínios.
g(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{8 x^{2} y^{3}}{2 x^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 1 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a continuidade da função
g\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, \qquad g(x,y)= \begin{cases} \dfrac{8x^2y^3}{2x^2+y^2},& (x,y)\neq(0,0),\\[1em] 1,& (x,y)=(0,0). \end{cases}
O conteúdo aqui é continuidade de funções de várias variáveis; vamos usar que quocientes de polinômios são contínuos onde o denominador é não–nulo e verificar o limite em (0,0).]

Passo 2

Para (x,y)\neq(0,0) temos 2x^2+y^2>0, logo o numerador e o denominador são polinômios sem problemas de divisão por zero. Assim
g(x,y)=\frac{8x^2y^3}{2x^2+y^2}
é contínua em todo ponto (x,y)\neq(0,0).

Passo 3

Falta checar a continuidade em (0,0). Pelo critério de continuidade devemos ver se
\lim_{(x,y)\to(0,0)}g(x,y) \;=\; g(0,0)=1.
Se o limite não for 1, então g falha em ser contínua na origem.

Passo 4

Vamos calcular
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{8x^2y^3}{2x^2+y^2}.
Use coordenadas polares: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta. Então
\frac{8x^2y^3}{2x^2+y^2} = \frac{8\,r^2\cos^2\theta\;\bigl(r^3\sin^3\theta\bigr)} {r^2\bigl(2\cos^2\theta+\sin^2\theta\bigr)} = 8\,r^3\, \frac{\cos^2\theta\,\sin^3\theta} {2\cos^2\theta+\sin^2\theta}.
Como 2\cos^2\theta+\sin^2\theta nunca se anula, o quociente angular fica limitado, e assim o módulo da expressão é da ordem de r^3. Logo
\lim_{r\to0}8\,r^3\, \frac{\cos^2\theta\,\sin^3\theta} {2\cos^2\theta+\sin^2\theta} =0.
Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)}g(x,y)=0\neq1.

Passo 5

Como o limite em (0,0) é 0 e não coincide com g(0,0)=1, a função não é contínua na origem.

Resposta

A função g é contínua em todos os pontos de \mathbb{R}^2 com (x,y)\neq(0,0) e é descontinua em (0,0).

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