Determine se as funções abaixo g: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R} são contínuas nos seus domínios. g(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{8 x^{2} y^{3}}{2 x^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 1 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a continuidade da função
O conteúdo aqui é continuidade de funções de várias variáveis; vamos usar que quocientes de polinômios são contínuos onde o denominador é não–nulo e verificar o limite em (0,0).]
Passo 2
Para (x,y)\neq(0,0) temos 2x^2+y^2>0, logo o numerador e o denominador são polinômios sem problemas de divisão por zero. Assim
g(x,y)=\frac{8x^2y^3}{2x^2+y^2}
é contínua em todo ponto (x,y)\neq(0,0).
Passo 3
Falta checar a continuidade em (0,0). Pelo critério de continuidade devemos ver se
\lim_{(x,y)\to(0,0)}g(x,y) \;=\; g(0,0)=1.
Se o limite não for 1, então g falha em ser contínua na origem.
Passo 4
Vamos calcular
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{8x^2y^3}{2x^2+y^2}.
Use coordenadas polares: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta. Então