Determine se as funções abaixo g: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R} são contínuas nos seus domínios.
g(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{3 x^{2} y}{x^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função
g(x,y)= \begin{cases} \displaystyle \frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[1ex] 0,&\text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
cujo domínio é \mathbb{R}^2. Queremos verificar se g é contínua em cada ponto do domínio. Para isso, vamos usar que quociente de polinômios é contínuo onde o denominador não anula, e vamos checar o ponto (0,0) separadamente por limite.]

Passo 2

Se (x,y)\neq(0,0), então x^2+y^2>0 e tanto o numerador 3x^2y quanto o denominador x^2+y^2 são polinômios em (x,y). Logo,
(x,y)\mapsto \frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}
é contínua em todo ponto com (x,y)\neq(0,0) por ser quociente de funções polinomiais com denominador não nulo.

Passo 3

Falta checar a continuidade em (0,0). Temos g(0,0)=0. Vamos ver se
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}=0.
Observe que
\left|\frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}\right| =\frac{3x^{2}\,\lvert y\rvert}{x^{2}+y^{2}} \le \frac{3(x^{2}+y^{2})\,\lvert y\rvert}{x^{2}+y^{2}} =3\lvert y\rvert.
Como quando (x,y)\to(0,0) temos \lvert y\rvert\to 0, o lado direito tende a zero. Pelo Teorema do Confronto, o limite da fração é 0, que coincide com g(0,0). Portanto g é contínua em (0,0).

Resposta

A função g é contínua em todo o seu domínio \mathbb{R}^2.

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