Determine se os limites abaixo existem, no caso que não, explique, no caso que sim, calcule.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^{4}}{x^{2}+y^{8}};

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o limite da função de duas variáveis
f(x,y)=\frac{x\,y^{4}}{x^{2}+y^{8}}
quando (x,y)\to(0,0) existe. O conteúdo é limite em várias variáveis e vamos usar o teste de diferentes caminhos de aproximação para ver se o valor é único.

Passo 2

Analisamos o caminho y=0. Neste caso,
f(x,0)=\frac{x\cdot 0^{4}}{x^{2}+0^{8}}=0.
Logo, ao aproximar (x,y)\to(0,0) por y=0, a função tende a 0.

Passo 3

Analisamos o caminho x=0. Neste caso,
f(0,y)=\frac{0\cdot y^{4}}{0^{2}+y^{8}}=0.
Assim, entrando pelo eixo x=0, o limite também vale 0.

Passo 4

Agora escolhemos a curva x=y^{4}. Substituindo,
f(y^{4},y) =\frac{y^{4}\cdot y^{4}}{(y^{4})^{2}+y^{8}} =\frac{y^{8}}{y^{8}+y^{8}} =\frac{y^{8}}{2\,y^{8}} =\frac{1}{2}.
Aqui, quando y\to0, o valor tende a \tfrac12. Como obtemos 0 em dois caminhos e \tfrac12 em outro, o limite não é único.

Resposta

O limite não existe, pois depende do caminho de aproximação.

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