Duas esferas, cada uma com massa m, distantes de R, orbitam em torno do centro de massa do sistema (formado pelas duas esferas). Determine:
© o período do movimento.

Passo 1

Beleza, o que a questão diz é que a gente tem duas esferas, cada uma de massa , separadas por uma distância , e elas giram em torno do ponto que é o centro de massa do sistema. O que cai aqui é usar a Lei da Gravitação Universal (pra calcular a força que puxa elas) e a força centrípeta (que mantém cada uma girando). No fim a gente extrai o período .

Passo 2

Antes de mais nada, em sistemas com duas massas iguais, o centro de massa fica bem no meio do caminho. Então cada esfera descreve uma órbita circular de raio
r = R2
Isso significa que cada esfera “sente” uma força centrípeta que aponta para esse ponto a uma distância .

Passo 3

Agora vamos lembrar das duas fórmulas:
  1. Lei da Gravitação Universal: a atração entre as esferas é
Frm g ;=; G,mcdot mR^2 ;=; G,m^2R^2
  1. Força centrípeta necessária para manter uma esfera de massa Frm c ;=; m,omega^2,r girando com velocidade angular numa órbita de raio :

Passo 4

Para a órbita ser estável, essas duas forças têm que ser iguais:
Frm g = Frm c Longrightarrow G,m^2R^2 = m,omega^2,R2
A gente pode simplificar um omega^2 = G,mR^2,2R = 2,G,mR^3 dos dois lados e resolver para :

Passo 5

Sabendo T = 2piomega = 2pi ,raiz1omega^2 = 2pi ,raizR^32,G,m , o período (tempo de uma volta completa) é

Resposta

boxedT = 2pi,raizR^32,G,m

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