Duas esferas, cada uma com massa
, distantes de
, orbitam em torno do centro de massa do sistema (formado pelas duas esferas). Determine:
© o período do movimento.
© o período do movimento.
Passo 1
Beleza, o que a questão diz é que a gente tem duas esferas, cada uma de massa
, separadas por uma distância
, e elas giram em torno do ponto que é o centro de massa do sistema. O que cai aqui é usar a Lei da Gravitação Universal (pra calcular a força que puxa elas) e a força centrípeta (que mantém cada uma girando). No fim a gente extrai o período
.
Passo 2
Antes de mais nada, em sistemas com duas massas iguais, o centro de massa fica bem no meio do caminho. Então cada esfera descreve uma órbita circular de raio
Isso significa que cada esfera “sente” uma força centrípeta que aponta para esse ponto a uma distância
.
Passo 3
Agora vamos lembrar das duas fórmulas:
- Lei da Gravitação Universal: a atração entre as esferas é
- Força centrípeta necessária para manter uma esfera de massa
girando com velocidade angular numa órbita de raio :
Passo 4
Para a órbita ser estável, essas duas forças têm que ser iguais:
A gente pode simplificar um
dos dois lados e resolver para
:
Passo 5
Sabendo
, o período
(tempo de uma volta completa) é