Determine se as funções abaixo são côncavas ou convexas.
Passo 1
Inicialmente, resumimos o enunciado: temos a função de duas variáveis
e queremos determinar se ela é côncava ou convexa. O conteúdo aqui é análise de convexidade/concavidade usando derivadas de segunda ordem.
Passo 2
Para aplicar o critério de convexidade, lembramos que uma função duas vezes diferenciável é convexa se sua matriz Hessiana for semidefinida positiva (ou definida positiva para convexidade estrita) em todo o domínio. Ela é côncava se a Hessiana for semidefinida negativa.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de segunda ordem para montar a matriz Hessiana. As derivadas são:
Passo 4
Assim, a Hessiana é
Passo 5
Analisando a Hessiana, percebemos que seus autovalores são
e
, ambos positivos. Logo, ela é definida positiva, o que implica que
é uma função estritamente convexa.
Resposta
A função
é estritamente convexa.