Determine se as funções abaixo são côncavas ou convexas.
U(q1, q2)=q1^2+q2^2

Passo 1

Inicialmente, resumimos o enunciado: temos a função de duas variáveis U(q1,q2)=q1^2+q2^2 e queremos determinar se ela é côncava ou convexa. O conteúdo aqui é análise de convexidade/concavidade usando derivadas de segunda ordem.

Passo 2

Para aplicar o critério de convexidade, lembramos que uma função duas vezes diferenciável é convexa se sua matriz Hessiana for semidefinida positiva (ou definida positiva para convexidade estrita) em todo o domínio. Ela é côncava se a Hessiana for semidefinida negativa.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de segunda ordem para montar a matriz Hessiana. As derivadas são:
partial^2 Upartial q1^2=2, partial^2 Upartial q2^2=2, partial^2 Upartial q1partial q2=0

Passo 4

Assim, a Hessiana é
H(U)=2 & 00 & 2

Passo 5

Analisando a Hessiana, percebemos que seus autovalores são 2 e 2, ambos positivos. Logo, ela é definida positiva, o que implica que U é uma função estritamente convexa.

Resposta

A função U(q1,q2)=q1^2+q2^2 é estritamente convexa.

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