Resolva as integrais:
integral-infty^+infty 1x^2+10 x+26 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral-infty^+infty 1x^2 + 10x + 26 , dx. Esse exercício envolve cálculo de integrais de funções racionais. Para resolver, vamos completar o quadrado no denominador e usar uma fórmula padrão de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado no denominador x^2 + 10x + 26. Para isso, pegamos os termos quadrático e linear:
x^2 + 10x = (x + 5)^2 - 25
Então, adicionamos o termo constante:
x^2 + 10x + 26 = (x + 5)^2 - 25 + 26 = (x + 5)^2 + 1

Passo 3

Agora, a integral fica:
integral-infty^+infty 1(x + 5)^2 + 1 , dx
Sabemos que a integral de 1u^2 + a^2 é 1a arctan(ua) + C.

Passo 4

Fazendo a substituição u = x + 5, então du = dx. A integral se transforma em:
integral-infty^+infty 1u^2 + 1 , du

Passo 5

Aplicando a fórmula da integral, temos:
integral 1u^2 + 1 , du = arctan(u) + C

Passo 6

Aplicando os limites de integração:
[ arctan(u) ]-infty^+infty = arctan(+infty) - arctan(-infty) = pi2 - (-pi2) = pi

Resposta

pi

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