Usando coordenadas polares na qual f(z)=u(r, theta)+i v(r, theta) e z=r e^i theta, encontre as equações de Cauchy-Riemann nessas coordenadas e verifique também se as seguintes funções são analíticas:
raizz

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as equações de Cauchy–Riemann em coordenadas polares para uma função complexa escrita como f(z)=u(r,theta)+iv(r,theta) com z=re^itheta, e em seguida verificar se raiz z é analítica. Vamos usar teoria de função holomorfa e derivadas parciais via mudança de variáveis.

Passo 2

Para obter as equações de Cauchy–Riemann em coordenadas polares, começamos lembrando as relações de transformação entre derivadas cartesianas (x,y) e polares (r,theta):
partialpartial r=costheta,partialpartial x+sintheta,partialpartial y, partialpartialtheta=-rsintheta,partialpartial x+rcostheta,partialpartial y
Sabendo que as equações de Cauchy–Riemann em (x,y) são ux=vy e uy=-vx, aplicamos essa transformação.

Passo 3

Ao aplicar as relações acima e reorganizar, obtemos em coordenadas polares as equações:
partial upartial r=1r,partial vpartialtheta, partial vpartial r=-1r,partial upartialtheta
Essas são as condições necessárias e suficientes para f ser holomorfa em coordenadas polares.

Passo 4

Agora, para f(z)=raiz z escolhemos a fórmula na ramificação principal,
f(re^itheta)=raiz r,e^itheta/2=raiz rcostheta2+iraiz rsintheta2
Assim,
u(r,theta)=raiz rcostfractheta2, v(r,theta)=raiz rsintfractheta2

Passo 5

Calculamos as derivadas parciais necessárias:
partial upartial r=12raiz rcostfractheta2, partial vpartialtheta=raiz rcdottfrac12costfractheta2=tfracraiz r2costfractheta2,
então
1rpartial vpartialtheta=1rcdotraiz r2costfractheta2=12raiz rcostfractheta2=partial upartial r
E também
partial vpartial r=12raiz rsintfractheta2, partial upartialtheta=raiz rcdotl(-tfrac12sintfractheta2r)=-tfracraiz r2sintfractheta2,
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-1rpartial upartialtheta=-1rcdotl(-tfracraiz r2sintfractheta2r)=12raiz rsintfractheta2=partial vpartial r

Passo 6

Como ambas equações de Cauchy–Riemann em coordenadas polares são satisfeitas (para r>0 e theta em um ramo fixo), concluímos que raiz z é analítica no domínio onde escolhemos a ramificação (por exemplo, 0).

Resposta

As equações de Cauchy–Riemann em coordenadas polares são
partial upartial r=1r,partial vpartialtheta, partial vpartial r=-1r,partial upartialtheta
A função raiz z, definida como raiz r,e^itheta/2 em um ramo (por exemplo, 0), satisfaz essas equações e, portanto, é analítica nesse domínio (fora da origem e do corte escolhido).

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