Usando coordenadas polares na qual
e
, encontre as equações de Cauchy-Riemann nessas coordenadas e verifique também se as seguintes funções são analíticas:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as equações de Cauchy–Riemann em coordenadas polares para uma função complexa escrita como
com
, e em seguida verificar se
é analítica. Vamos usar teoria de função holomorfa e derivadas parciais via mudança de variáveis.
Passo 2
Para obter as equações de Cauchy–Riemann em coordenadas polares, começamos lembrando as relações de transformação entre derivadas cartesianas
e polares
:
Sabendo que as equações de Cauchy–Riemann em (x,y) são
e
, aplicamos essa transformação.
Passo 3
Ao aplicar as relações acima e reorganizar, obtemos em coordenadas polares as equações:
Essas são as condições necessárias e suficientes para
ser holomorfa em coordenadas polares.
Passo 4
Agora, para
escolhemos a fórmula na ramificação principal,
Assim,
Passo 5
Calculamos as derivadas parciais necessárias:
então
E também
logo
Passo 6
Como ambas equações de Cauchy–Riemann em coordenadas polares são satisfeitas (para
e
em um ramo fixo), concluímos que
é analítica no domínio onde escolhemos a ramificação (por exemplo,
).
Resposta
As equações de Cauchy–Riemann em coordenadas polares são
A função
, definida como
em um ramo (por exemplo,
), satisfaz essas equações e, portanto, é analítica nesse domínio (fora da origem e do corte escolhido).