Resolva as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está ligado ao cálculo de integrais envolvendo funções com raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar usar substituição e algumas propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a integração. Observe que:
Então, nossa integral fica:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar ainda mais. Vamos definir:
Assim, ao elevar ambos os lados ao quadrado:
Passo 4
Vamos derivar ambos os lados em relação a
para encontrar
em termos de
:
Portanto:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na nossa integral original:
Mas sabemos que
, então:
Passo 6
Essa integral pode ser dividida da seguinte forma:
Resolvendo as integrais:
Passo 7
Agora, voltamos para a variável original
. Lembrando que
, temos:
Passo 8
Finalmente, aplicamos os limites de integração de 1 a 2:
Calculando para
:
E para
:
Resposta
O valor da integral é
.