Resolva as integrais:
integral1^2 raiz1-1x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral1^2 raiz1-1x^2 , dx. Esse exercício está ligado ao cálculo de integrais envolvendo funções com raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar usar substituição e algumas propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a integração. Observe que:
raiz1 - 1x^2 = raizx^2 - 1x^2 = raizx^2 - 1x
Então, nossa integral fica:
integral1^2 raizx^2 - 1x , dx

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar ainda mais. Vamos definir:
u = raizx^2 - 1
Assim, ao elevar ambos os lados ao quadrado:
u^2 = x^2 - 1 Rightarrow x^2 = u^2 + 1

Passo 4

Vamos derivar ambos os lados em relação a x para encontrar dx em termos de du:
2u , du = 2x , dx Rightarrow u , du = x , dx
Portanto:
dx = ux , du

Passo 5

Agora, substituímos u e dx na nossa integral original:
integral ux cdot ux , du = integral u^2x^2 , du
Mas sabemos que x^2 = u^2 + 1, então:
integral u^2u^2 + 1 , du

Passo 6

Essa integral pode ser dividida da seguinte forma:
integral u^2u^2 + 1 , du = integral (1 - 1u^2 + 1) , du = integral 1 , du - integral 1u^2 + 1 , du
Resolvendo as integrais:
u - arctan(u) + C

Passo 7

Agora, voltamos para a variável original x. Lembrando que u = raizx^2 - 1, temos:
raizx^2 - 1 - arctan(raizx^2 - 1) + C

Passo 8

Finalmente, aplicamos os limites de integração de 1 a 2:
[ raizx^2 - 1 - arctan(raizx^2 - 1) ]1^2
Calculando para x = 2:
raiz4 - 1 - arctan(raiz3) = raiz3 - pi3
E para x = 1:
raiz1 - 1 - arctan(0) = 0 - 0 = 0

Resposta

O valor da integral é raiz3 - pi3.

Exercícios relacionados