Determine se as funções abaixo são côncavas ou convexas.
U(q1, q2)=q1+q2+2 q1 q2-0.01(q1^2+q2^2)

Passo 1

Temos a função utilidade U(q1,q2)=q1+q2+2q1q2-0.01(q1^2+q2^2). Para decidir se ela é convexa ou côncava, vamos usar a matriz Hessiana, que reúne as derivadas segundas. Essa é a ferramenta padrão para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de segunda ordem:
partial^2 Upartial q1^2=-0.02, partial^2 Upartial q2^2=-0.02, partial^2 Upartial q1partial q2=2

Passo 3

Em seguida, montamos a Hessiana H:
H=-0.02 & 2[6pt]2 & -0.02
Calculamos agora os menores principais:
D1=-0.02, D2=det(H)=(-0.02)(-0.02)-2^2=-3.9996

Passo 4

Para uma função ser côncava, precisaríamos de (-1)^kDk>=0 para todo k; para ser convexa, todos os menores principais teriam que ser não negativos. Aqui temos D2<0, o que mostra que o Hessiano é indefinido e, portanto, a função não é nem convexa nem côncava.

Resposta

A função não é nem côncava nem convexa, pois o Hessiano é indefinido (determinante negativo).

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