Determine se as funções abaixo são côncavas ou convexas.
Passo 1
Temos a função utilidade
. Para decidir se ela é convexa ou côncava, vamos usar a matriz Hessiana, que reúne as derivadas segundas. Essa é a ferramenta padrão para funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de segunda ordem:
Passo 3
Em seguida, montamos a Hessiana
:
Calculamos agora os menores principais:
Passo 4
Para uma função ser côncava, precisaríamos de
para todo
; para ser convexa, todos os menores principais teriam que ser não negativos. Aqui temos
, o que mostra que o Hessiano é indefinido e, portanto, a função não é nem convexa nem côncava.
Resposta
A função não é nem côncava nem convexa, pois o Hessiano é indefinido (determinante negativo).