Encontre o ponto estacionário da função abaixo. Verifique a condição de segunda ordem através do Hessiano.
f(x, y)=x y-ln (x^2+y^2)

Passo 1

Neste exercício de Cálculo Multivariado vamos achar os pontos críticos da função
f(x,y)=xy-lnl(x^2+y^2r)
e depois usar o Hessiano para verificar a condição de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de f.
fx=partialpartial xl(xy-ln(x^2+y^2)r)=y-2xx^2+y^2
fy=partialpartial yl(xy-ln(x^2+y^2)r)=x-2yx^2+y^2

Passo 3

Igualamos as duas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
y-2xx^2+y^2=0, x-2yx^2+y^2=0
Da primeira vem y=2x/(x^2+y^2) e da segunda x=2y/(x^2+y^2). Dividindo uma equação pela outra obtemos y/x = x/y, ou seja, y^2=x^2. Assim y=pm x. Substituindo em y=2x/(2x^2) (já que x^2+y^2=2x^2 quando y=pm x), vemos que só y=x dá solução real, com x^2=1. Logo os pontos críticos são
(x,y)=(1,1) e(x,y)=(-1,-1)

Passo 4

Agora montamos o Hessiano geral de f:
H(f)=fxx&fxy[6pt]fyx&fyy
Calculando as segundas derivadas:
fxx=2y^2-3x^2(x^2+y^2)^2, fyy=23y^2-x^2(x^2+y^2)^2,
fxy=fyx=1+4xy(x^2+y^2)^2

Passo 5

Avaliamos o Hessiano em cada ponto crítico. Para (1,1) temos x^2+y^2=2 e (x^2+y^2)^2=4. Assim:
fxx(1,1)=-1, fyy(1,1)=1, fxy(1,1)=2
Logo
H(f)(1,1)=-1&2[4pt]2&1

Passo 6

O determinante do Hessiano em (1,1) é
det H(f)(1,1)=(-1)cdot1-(2)^2=-1-4=-5<0
Determinante negativo indica que o Hessiano é indefinido e, portanto, o ponto é de sela. O mesmo cálculo vale para (-1,-1), pois as fórmulas ficam idênticas.

Passo 7

Concluindo, ambos os pontos críticos são pontos de sela.

Resposta

Os pontos estacionários são (1,1) e (-1,-1). Em cada um deles o Hessiano tem determinante -5, ou seja, é indefinido, caracterizando pontos de sela.

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