Encontre o ponto estacionário da função abaixo. Verifique a condição de segunda ordem através do Hessiano.
Passo 1
Neste exercício de Cálculo Multivariado vamos achar os pontos críticos da função
e depois usar o Hessiano para verificar a condição de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de
.
Passo 3
Igualamos as duas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Da primeira vem
e da segunda
. Dividindo uma equação pela outra obtemos
, ou seja,
. Assim
. Substituindo em
(já que
quando
), vemos que só
dá solução real, com
. Logo os pontos críticos são
Passo 4
Agora montamos o Hessiano geral de
:
Calculando as segundas derivadas:
Passo 5
Avaliamos o Hessiano em cada ponto crítico. Para
temos
e
. Assim:
Logo
Passo 6
O determinante do Hessiano em
é
Determinante negativo indica que o Hessiano é indefinido e, portanto, o ponto é de sela. O mesmo cálculo vale para
, pois as fórmulas ficam idênticas.
Passo 7
Concluindo, ambos os pontos críticos são pontos de sela.
Resposta
Os pontos estacionários são
e
. Em cada um deles o Hessiano tem determinante
, ou seja, é indefinido, caracterizando pontos de sela.