Encontre o ponto estacionário da função abaixo. Verifique a condição de segunda ordem através do Hessiano.
Passo 1
O exercício pede para encontrar o ponto estacionário da função de três variáveis e depois verificar a natureza desse ponto usando o Hessiano. O conteúdo envolve: cálculo de derivadas parciais para achar o gradiente e resolução do sistema ∇y=0; e análise de segunda ordem via matriz Hessiana para classificar o ponto (mínimo, máximo ou sela).
Passo 2
Vamos primeiro calcular as derivadas parciais de y em relação a x₁, x₂ e x₃ e igualar a zero. Temos
Passo 3
Agora resolvemos o sistema. Da segunda equação obtemos
Da primeira:
Substituindo essas em x₁+2x₂−8x₃=0, chegamos a
Passo 4
Com o ponto crítico em mãos, montamos a matriz Hessiana pelas segundas derivadas:
Passo 5
Para ver se H é definida negativa (indicando máximo local), usamos os principais menores:
D₁=−10<0,
D₂=det-10&00&-4=40>0,
D₃=det,H=−276<0.
Como D₁<0, D₂>0 e D₃<0, a matriz é definida negativa.
Passo 6
Conclusão: o ponto crítico (24/23,,28/23,,10/23) é um ponto de máximo local, pois o Hessiano é definido negativo neste ponto.
Resposta
O ponto estacionário é (x₁,x₂,x₃)=(24/23, 28/23, 10/23), e como o Hessiano é definida negativa, esse ponto é um máximo local.