Encontre o ponto estacionário da função abaixo. Verifique a condição de segunda ordem através do Hessiano.
y=-5 x1^2+10 x1+x1 x3-2 x2^2+4 x2+2 x2 x3-4 x3^2

Passo 1

O exercício pede para encontrar o ponto estacionário da função de três variáveis e depois verificar a natureza desse ponto usando o Hessiano. O conteúdo envolve: cálculo de derivadas parciais para achar o gradiente e resolução do sistema ∇y=0; e análise de segunda ordem via matriz Hessiana para classificar o ponto (mínimo, máximo ou sela).

Passo 2

Vamos primeiro calcular as derivadas parciais de y em relação a x₁, x₂ e x₃ e igualar a zero. Temos
partial ypartial x1=-10x1+10+x3=0,
partial ypartial x2=-4x2+4+2x3=0,
partial ypartial x3=x1+2x2-8x3=0

Passo 3

Agora resolvemos o sistema. Da segunda equação obtemos
-4x2+2x3+4=0implies x3=2x2-2
Da primeira:
-10x1+(2x2-2)+10=0implies x1=2x2+810=x25+45
Substituindo essas em x₁+2x₂−8x₃=0, chegamos a
-695x2+845=0implies x2=2823,
x3=2cdot2823-2=1023,
x1=15cdot2823+45=2423

Passo 4

Com o ponto crítico (x1,x2,x3)=(24/23,,28/23,,10/23) em mãos, montamos a matriz Hessiana pelas segundas derivadas:
H= partial^2ypartial x1^2 & partial^2ypartial x1partial x2 & partial^2ypartial x1partial x3 partial^2ypartial x2partial x1 & partial^2ypartial x2^2 & partial^2ypartial x2partial x3 partial^2ypartial x3partial x1 & partial^2ypartial x3partial x2 & partial^2ypartial x3^2 =-10 & 0 & 1 0 & -4 & 2 1 & 2 & -8

Passo 5

Para ver se H é definida negativa (indicando máximo local), usamos os principais menores:
D₁=−10<0,
D₂=det -10&00&-4=40>0,
D₃=det,H=−276<0.
Como D₁<0, D₂>0 e D₃<0, a matriz é definida negativa.

Passo 6

Conclusão: o ponto crítico (24/23,,28/23,,10/23) é um ponto de máximo local, pois o Hessiano é definido negativo neste ponto.

Resposta

O ponto estacionário é (x₁,x₂,x₃)=(24/23, 28/23, 10/23), e como o Hessiano é definida negativa, esse ponto é um máximo local.

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